40. Ces formules contiennent une infinité de solutions, puisqu’on peut prendre pour
un entier quelconque mais ces solutions en nombre infini, ne sont susceptibles que de cinq formes différentes.
En effet, quel que soit l’exposant
il sera toujours de l’une des cinq formes,
Mais j’observe que la partie indéterminée
peut être supprimée comme étant comprise dans l’expression de
Car on peut faire
et on aura de nouveau
de sorte qu’il suffira de mettre
et
à la place de
et
dans les valeurs de
et
Il ne reste donc à considérer que les cinq valeurs
auxquelles répondent les valeurs de
et n, comme il suit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}m=&1,\quad 9,\quad 161,\\n=&0,\,\pm 4,\,\pm \ \ 72,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ad04f2da22d73178a47b831835b35b92ea8413)
41. Nous observerons encore que dans l’équation
où
est toujours divisible par
le terme
ne peut être divisible par
qu’autant que
le sera : car
étant premier à
et sa valeur étant
ne peut être divisible par
ni par conséquent
Donc des cinq valeurs de
on ne peut admettre que la valeur
qui répond à
ce qui donnera pour seule solution admissible
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}.5^{7}t^{10}&=\mathrm {G} =5g\left(f^{4}+10f^{2}g^{2}+5g^{4}\right),\\{\text{ou}}\qquad \qquad {\frac {1}{2}}.5^{6}t^{10}&=g\left(f^{4}+10f^{2}g^{2}+5g^{4}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffcac0e24b7258789df10b0d5cb82c062223fa6)
Dans cette équation, les deux facteurs du second membre sont premiers entre eux, et il faut supposer
pair ; car si ![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)