où l’on voit que
sera toujours un nombre entier, et que
doit être divisible par
en effet on a
L’équation précédente peut donc s’écrire ainsi :
![{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}yz\right)^{2}-5\left({\frac {y^{2}-{\frac {1}{2}}yz+z^{2}}{5}}\right)^{2}=-r^{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c9f0c53919b635b8b665cccd34a14776950214)
et puisque le nombre impair
est diviseur d’un nombre de la forme
où
et
sont premiers entre eux, il sera lui-même de cette forme ; il en est de même de
car on sait que tout nombre de la forme
est en même temps de la forme
nous pouvons donc supposer
et faisant comme ci-dessus
nous aurons
et l’équation à résoudre sera
![{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}yz\right)^{2}-5\left({\frac {y^{2}-{\frac {1}{2}}yz+z^{2}}{5}}\right)^{2}=\mathrm {F^{2}-5G^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3386f62e5d3b0449e132e4dce5eea2acbc13e657)
Supposant de nouveau
la résolution générale de cette équation s’obtiendra en faisant
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}yz+{\frac {y^{2}-{\frac {1}{2}}yz+z^{2}}{5}}{\sqrt {5}}=\mathrm {\left(F+G{\sqrt {5}}\right)} \left(m+n{\sqrt {5}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d38b7b4684c8c58672a1c84eda45d21e669eec3)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}yz=m\mathrm {F} +5n\mathrm {G} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ed8280fcb8ab1c0121d9a2e98b5fe2b9c60e20)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(y^{2}-{\frac {1}{2}}yz+z^{2}\right)=m\mathrm {G} +n\mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf3f5ea754e2949944ddd34c76a2c6df9f1136d)
On tire de ees deux équations
ou
![{\displaystyle 5^{7}t^{10}=(m+n)\mathrm {F} +(m+5n)\mathrm {G} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2701416beecfb8ba7c94cbcbc870e0b4ae8657c)
44. Puisque
est toujours divisible par
et que
ne