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où l’on voit que ${\frac {1}{2}}yz$ sera toujours un nombre entier, et que $y^{2}-{\frac {1}{2}}yz+z^{2}$ doit être divisible par $5,$ en effet on a

$y^{2}-{\frac {1}{2}}yz+z^{2}=(y+z)^{2}-5\left({\frac {1}{2}}yz\right)=5^{8}t^{10}-5\left({\frac {1}{2}}yz\right).$ L’équation précédente peut donc s’écrire ainsi :

$\left({\frac {1}{2}}yz\right)^{2}-5\left({\frac {y^{2}-{\frac {1}{2}}yz+z^{2}}{5}}\right)^{2}=-r^{5},$

et puisque le nombre impair $r$ est diviseur d’un nombre de la forme $p^{2}-5q^{2},$ où $p$ et $q$ sont premiers entre eux, il sera lui-même de cette forme ; il en est de même de $-r\,;$ car on sait que tout nombre de la forme $p^{2}-5q^{2}$ est en même temps de la forme $5a^{2}-b^{2}\,;$ nous pouvons donc supposer $-r=f^{2}-5g^{2},$ et faisant comme ci-dessus $\left(f+g{\sqrt {5}}\right)^{5}=\mathrm {F+G} {\sqrt {5}},$ nous aurons $-r^{5}=\mathrm {F^{2}-5G^{2}} ,$ et l’équation à résoudre sera

$\left({\frac {1}{2}}yz\right)^{2}-5\left({\frac {y^{2}-{\frac {1}{2}}yz+z^{2}}{5}}\right)^{2}=\mathrm {F^{2}-5G^{2}} .$

Supposant de nouveau $m+n{\sqrt {5}}=\left(9\pm 4{\sqrt {5}}\right)^{k},$ la résolution générale de cette équation s’obtiendra en faisant

${\frac {1}{2}}yz+{\frac {y^{2}-{\frac {1}{2}}yz+z^{2}}{5}}{\sqrt {5}}=\mathrm {\left(F+G{\sqrt {5}}\right)} \left(m+n{\sqrt {5}}\right),$

ce qui donne

${\frac {1}{2}}yz=m\mathrm {F} +5n\mathrm {G} ,$

${\frac {1}{2}}\left(y^{2}-{\frac {1}{2}}yz+z^{2}\right)=m\mathrm {G} +n\mathrm {F} .$

On tire de ees deux équations ${\frac {1}{2}}(y+z)^{2}=(m+n)\mathrm {F} +(m+5n)\mathrm {G} ,$ ou

$5^{7}t^{10}=(m+n)\mathrm {F} +(m+5n)\mathrm {G} .$

44. Puisque $\mathrm {G}$ est toujours divisible par $5$ et que $\mathrm {F}$ ne