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l’est pas, cette équation ne peut subsister à moins que $m+n$ ne soit divisible par $5.$ Or d’après les cinq valeurs de $m$ et $n$ rapportées ci-dessus, on trouve que cette condition ne peut être remplie qu’en supposant $m=9,$ $n=-4,$ ce qui donnera

$5^{7}t^{10}=\mathrm {5F-11G} ,$

ou en divisant par $5$ et substituant les valeurs de $\mathrm {F}$ et de $\mathrm {G} ,$

$5^{6}t^{10}=f^{4}(f-11g)+10f^{2}g^{1}(5f-11g)+5g^{4}(25f-11g).$

On voit par cette équation que $f-g$ doit être divisible par $5\,;$ soit donc $f=g+h,$ $h$ étant un nombre divisible par $5,$ et on aura $f+g{\sqrt {5}}=h+g\left(2+{\sqrt {5}}\right),$ de sorte qu’on pourra faire directement

${\begin{aligned}\mathrm {F+G} {\sqrt {5}}&=\left[h+g\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right]^{5}\\&=h^{5}+5h^{4}g\left(1+{\sqrt {5}}\right)+28h^{3}g^{2}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\\&+80h^{2}g^{3}\left(2+{\sqrt {5}}\right)+40hg^{4}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)\\&+16g^{5}\left(11+5{\sqrt {5}}\right).\end{aligned}}$

On déduit de là les valeurs séparées de $\mathrm {F}$ et de $\mathrm {G} ,$ mais comme nous n’avons besoin que de la quantité $\mathrm {F-{\frac {11}{5}}G} ,$ nous pourrons, dans cette équation mettre $-{\frac {11}{5}}$ à la place de ${\sqrt {5}},$ ce qui donnera

$\mathrm {F-{\frac {11}{5}}G} =h\left(h^{4}-6h^{3}g+16h^{2}g^{2}-16hg^{3}+16g^{4}\right),$

et par conséquent

$5^{6}t^{10}=h\left(h^{4}-6h^{3}g+16h^{2}g^{2}-16hg^{3}+16g^{4}\right).$

45. Sachant déjà que $h$ est divisible par $5$ et que $g$ ne l’est pas, observant de plus que $h$ doit être impair, et qu’ainsi les deux facteurs du second membre sont premiers entre