l’est pas, cette équation ne peut subsister à moins que
ne soit divisible par
Or d’après les cinq valeurs de
et
rapportées ci-dessus, on trouve que cette condition ne peut être remplie qu’en supposant
ce qui donnera
![{\displaystyle 5^{7}t^{10}=\mathrm {5F-11G} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8df17ec4381994080b26cddf7427766d1c1051d)
ou en divisant par
et substituant les valeurs de
et de ![{\displaystyle \mathrm {G} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5eea482c6c7b1b9fb69415def04ecc0271d00a)
![{\displaystyle 5^{6}t^{10}=f^{4}(f-11g)+10f^{2}g^{1}(5f-11g)+5g^{4}(25f-11g).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95580f0e71c0d8998b496678d95e3a9ba416382)
On voit par cette équation que
doit être divisible par
soit donc
étant un nombre divisible par
et on aura
de sorte qu’on pourra faire directement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F+G} {\sqrt {5}}&=\left[h+g\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right]^{5}\\&=h^{5}+5h^{4}g\left(1+{\sqrt {5}}\right)+28h^{3}g^{2}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\\&+80h^{2}g^{3}\left(2+{\sqrt {5}}\right)+40hg^{4}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)\\&+16g^{5}\left(11+5{\sqrt {5}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1864046d1281e26d3778231b293e672cba1e377)
On déduit de là les valeurs séparées de
et de
mais comme nous n’avons besoin que de la quantité
nous pourrons, dans cette équation mettre
à la place de
ce qui donnera
![{\displaystyle \mathrm {F-{\frac {11}{5}}G} =h\left(h^{4}-6h^{3}g+16h^{2}g^{2}-16hg^{3}+16g^{4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f804383f8877f3a9a3b9d8ea9a01aeff443a6ab5)
et par conséquent
![{\displaystyle 5^{6}t^{10}=h\left(h^{4}-6h^{3}g+16h^{2}g^{2}-16hg^{3}+16g^{4}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7b875e50de605252e6ab67cb3b2d1ca23fca7a)
45. Sachant déjà que
est divisible par
et que
ne l’est pas, observant de plus que
doit être impair, et qu’ainsi les deux facteurs du second membre sont premiers entre