de la première partie ; donc l’équation proposée
est pareillement impossible.
De l’équation ![{\displaystyle x^{3}+y^{3}=2^{m}z^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f880a2457417b41ee6dae17a4f10964f49a610d)
50. Dans cette équation où nous supposons
ou
les nombres
et
doivent être impairs, et on peut supposer que
l’est aussi ; d’ailleurs le premier membre est le produit des deux facteurs
qui ne peuvent avoir que
pour diviseur commun. Ainsi il faudra distinguer deux cas, selon que
est ou n’est pas divisible par
Soit 1o.
divisible par
l’équation proposée se divisera nécessairement en deux autres comme il suit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=2^{m}3^{2}a^{3},\\x^{2}-xy+y^{2}&=3r^{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90abb79a62d7b591cf73cd38450f26f6ebd9cd3f)
et l’on aura
étant premier à ![{\displaystyle 3a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/289e4aaa8188b6c229ec0c6f70170d735efca968)
La seconde de ces équations peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle \left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}+3\left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2}=3r^{3},\quad {\text{ou}}\quad \left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2}+3\left({\frac {x+y}{6}}\right)^{2}=r^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d7ef4b644852080c15f6e3b60dfeb3305b6fac)
d’où l’on voit que
qui est toujours un nombre impair, doit être de la forme
Faisant donc
puis
on aura
et de l’équation précédente on déduira
Mais on a
donc
![{\displaystyle g\left(f^{2}-g^{2}\right)={\frac {x+y}{18}}=2^{m-1}a^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae75679b9feeeb960435a674c52c7f8b3a16b46a)
Dans cette équation
doit être divisible par
car
est nécessairement un nombre impair, puisque
en