donc comme ci-dessus ϐ
et ϐ
on aura l’équation 
à laquelle on satisfait généralement en prenant 
Cette dernière donne, en faisant les substitutions,
Dans cette équation où 
est impair, puisque 
l’est, il faut que 
soit divisible par 
soit donc 
on aura 
Maintenant puisque le produit 
est un cube et que les facteurs 
sont premiers entre eux, il faut que chacun de ces facteurs soit un cube ; ainsi on devra faire 
ce qui donnera 
et en même temps 
On tire de là l’équation 
semblable à la proposée, où il faut observer que l’un des trois nombres 
doit contenir le facteur 
Or, d’après ce qui a été démontré dans la seconde partie, le terme 
déjà divisible par 
est nécessairement aussi divisible par 
donc il faut faire 
ce qui donnera
Ainsi de l’équation 
où l’une des indéterminées est divisible par 
on déduit une équation semblable où l’indéterminée correspondante est divisible par Continuant donc ces transformations autant de fois qu’il y a d’unités dans 
on parviendra à une dernière transformée 
dans laquelle aucun des nombres 
ne serait divisible par 
Cette équation est impossible en vertu
