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RECHERCHES

son diviseur $r$ sera de la même forme. On pourra donc faire $r=f^{2}+3g^{2},$ $r^{3}=\mathrm {F^{2}+3G^{2}} ,$ et pour résoudre l’équation précédente, on fera $x-y+9a^{3}{\sqrt {-3}}=\left(1\pm {\sqrt {-3}}\right)\left(\mathrm {F+G} {\sqrt {-3}}\right),$ ce qui donne

9a^{3}=\mathrm {G} \pm \mathrm {F} .

Mais puisqu’on a $\mathrm {G} =3g\left(f^{2}-g^{2}\right)$ et $\mathrm {F} =f\left(f^{2}-9g^{2}\right),$ il est visible que $\mathrm {G}$ est divisible par $3$ et que $\mathrm {F}$ ne l’est pas ; donc l’équation précédente ne saurait avoir lieu.

Supposons 2^o. $a$ pair et par conséquent $x-y$ pair, on aura $\left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2}+3\left({\frac {9a^{3}}{2}}\right)^{2}=r^{3}.$ Faisant toujours $r=f^{2}+3g^{2},$ $r^{3}=\mathrm {F^{2}+3G^{2}} ,$ on aura ${\frac {9a^{3}}{2}}=\mathrm {G} ,$ ou ${\frac {3}{2}}a^{3}=g\left(f^{2}-g^{2}\right).$ Les trois facteurs $g,\,f+g,\,f-g,$ étant premiers entre eux, cette équation ne peut subsister qu’en faisant $g=12\alpha ^{3},$ $f+g={\text{ϐ}}^{3},$ $f-g=\gamma ^{3},$ ce qui suppose $a=2\alpha {\text{ϐ}}\gamma ,$ ϐ et $\gamma$ étant premiers à $6\alpha .$ De là résulte ϐ $^{3}-\gamma ^{3}=2g=3(2\alpha )^{3},$ équation semblable à la proposée et composée de nombres beaucoup plus petits. Donc l’équation $x^{3}+y^{3}=3z^{3}$ est impossible.

53. On démontrera semblablement l’impossibilité des équations $x^{3}+y^{3}=5z^{3},$ $x^{3}+y^{3}=6z^{3}.$

Ainsi la série des valeurs de $\mathrm {A}$ depuis $\mathrm {A} =1$ jusqu’à $\mathrm {A} =6,$ auxquelles on peut joindre la valeur $\mathrm {A} =8,$ ne donne que des équations impossibles ; mais en continuant cette série on trouve immédiatement deux valeurs $\mathrm {A} =7,$ $\mathrm {A} =9,$ qui rendent l’équation possible.

On voit en effet que l’équation $x^{3}+y^{3}=7z^{3}$ est satisfaite en faisant $x=2,$ $y=-1,$ $z=1,$ et que l’équation $x^{3}+y^{3}=9z^{3}$ l’est également en faisant $x=2,$ $y=1,$ $z=1.$

54. Il est remarquable au reste que si l’équation $x^{3}+y^{3}$