admet une solution, sans supposer
elle en admet dès-lors une infinité qui se déduiront facilement de la solution primitive.
En effet supposons qu’on satisfasse à l’équation proposée par les valeurs
on sait que la somme des deux cubes donnés
sera égale à la somme de deux autres cubes
si l’on prend
Donc de la solution donnée
on déduira cette seconde solution
les nombres de celle-ci étant désignés par
on en déduirait sémblablement une troisième solution
au moyen des valeurs
![{\displaystyle a''=a'\left(a^{'3}+2b^{'3}\right),\quad b''=-b'\left(2a^{'3}+b^{'3}\right),\quad c''=c'\left(a^{'3}-b^{'3}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31516feb618bed6fc04fb890b1db377db54b2f3e)
et ainsi à l’infini.
55. On voit que chaque solution est du quatrième ordre par rapport à la précédente c’est-à-dire que le nombre des chiffres devient à peu près quadruple d’une solution à la suivante.
Ainsi la première solution de l’équation
étant donnée par les nombres
la seconde sera
ou plus simplement
de celle-ci on déduit la troisième
etc.
De même la première solution de l’équation
étant donnée par les nombres
on en déduit la seconde solution
de celle-ci la troisième
et ainsi à l’infini.
56. Dans le cas de
on voit que s’il existait une