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solution de l’équation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=0,$ donnée par les nombres $a,b,c,$ on en déduirait une seconde $a',b',c',$ au moyen des valeurs $a'=a\left(b^{3}-c^{3}\right),$ $b'=b\left(c^{3}-a^{3}\right),$ $c'=c\left(a^{3}-b^{3}\right)\,;$ celle-ci en donnerait semblablement une troisième, et ainsi à l’infini.

Si on cherchait à prolonger la série de ces solutions dans le sens inverse on devrait trouver de même une infinité de solutions, mais elles deviendraient bientôt irrationnelles car puisque $a'$ est de l’ordre $a^{4},$ si $a^{0}$ précède $a,$ il faudra que $a^{0}$ soit de l’ordre ${\sqrt[{4}]{a}}.$ Voici d’ailleurs la détermination de ces quantités.

Soit $a^{0}=x,$ $b^{0}=y,$ $c^{0}=z,$ on aura à résoudre les équations

${\begin{aligned}a&=x\left(y^{3}-z^{3}\right),\\b&=y\left(z^{3}-x^{3}\right),\\c&=z\left(x^{3}-y^{3}\right),\end{aligned}}$

qu’on peut combiner avec l’équation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=0.$ Or si l’on fait $3x^{4}=u,$ on trouve pour déterminer $u$ l’équation

$u^{4}-6a^{2}u^{2}-8\left(b^{3}-c^{3}\right)u-3a^{4}=0,$

équation qui est du nombre de celles qu’on peut résoudre à peu près aussi simplement que celles du second degré. Soit en effet $m={\sqrt[{3}]{4}},$ et $p$ une auxiliaire dont la valeur est

$p={\sqrt {\left(a^{2}-bcm\right)}},$

on trouvera $u$ ou

$3x^{4}=-p+{\sqrt {\left(3a^{2}-p^{2}-{\frac {2\left(b^{3}-c^{3}\right)}{p}}\right)}}.$

Des expressions semblables donneront les valeurs de $3y^{4}$ et