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jours possible, la même fonction $\mathrm {Q}$ pourra être mise aussi sous la forme $\mathrm {C} ^{2}-n\mathrm {D} ^{2}\,;$ il suffit pour cela de faire

$\mathrm {C+D} {\sqrt {n}}=\mathrm {\left({\frac {1}{2}}Y'+{\frac {1}{2}}Z'{\sqrt {n}}\right)} \left(t\pm u{\sqrt {n}}\right),$ ce qui donnera$\ldots \ldots \ldots$ $\mathrm {C} ={\frac {1}{2}}t\mathrm {Y} '\pm {\frac {1}{2}}nu\mathrm {Z} ',$ $\mathrm {D} ={\frac {1}{2}}t\mathrm {Z} '\pm {\frac {1}{2}}u\mathrm {Y} '.$

60. Théorème III. « Soit $n$ un nombre premier de la forme $4m+3,$ si on fait $\left(f+g{\sqrt {-n}}\right)^{n}=\mathrm {F+G} {\sqrt {-n}},$ ensuite $\mathrm {F} =f\mathrm {P} ,$ $\mathrm {G} =ng\mathrm {Q} ,$ ce qui donne

$\mathrm {P} =f^{n-1}-{\frac {n.n-1}{2}}f^{n-3}.ng^{2}+{\frac {n.n-1.n-2.n-3}{2.3.4}}f^{n-5}.n^{2}g^{4}-$ etc.,

$\mathrm {Q} =f^{n-1}-{\frac {n-1.n-2}{2.3}}f^{n-3}.ng^{2}+{\frac {n-1.n-2.n-3.n-4}{2.3.4.5}}f^{n-5}.n^{2}g^{4}-$ etc.

je dis que les polynomes $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ pourront être partagés en deux facteurs rationnels, de sorte qu’on aura

$\mathrm {P=AB,\qquad Q=CD} ,$

$\mathrm {A,\,B,\,C,\,D} ,$ étant des polynomes en f et g du degré $2m+1={\frac {1}{2}}(n-1).$ »

En effet : soit $p=f+g{\sqrt {-n}},$ $q=f-g{\sqrt {-n}},$ on aura $\mathrm {P} ={\frac {p^{n}+q^{n}}{p+q}}\,;$ et d’après cette forme on peut faire $4\mathrm {P} =\mathrm {X} ^{2}+n\mathrm {Y} ^{2},$ ce qui donnera

$\mathrm {X} =\left\{{\begin{aligned}&2p^{2m+1}-p^{2m}q-mp^{2m-1}q^{2}+{\text{etc}}.\\+&2q^{2m+1}-q^{2m}p-mq^{2m-1}p^{2}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {Y} =\left\{{\begin{aligned}&p^{2m}q+{\text{ϐ}}p^{2m-1}q^{2}+{\text{etc}}.\\-&q^{2m}p+{\text{ϐ}}q^{2m-1}p^{2}-{\text{etc}}.\end{aligned}}\right.$

Or j’observe que la valeur de $\mathrm {X}$ est réelle et rationnelle, puisqu’elle ne dépend que de la valeur de $pq$ et celle de $p^{k}+q^{k}$