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$n=7.$

$\mathrm {P} =f^{6}-3n^{2}f^{4}g^{2}+5n^{3}f^{2}g^{4}-n^{4}g^{6},$

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=f^{3}+nf^{2}g-n^{2}fg^{2}+n^{2}g^{3},\\\mathrm {B} &=f^{3}-nf^{2}g-n^{2}fg^{2}-n^{2}g^{3},\\\mathrm {Q} &=f^{6}-5nf^{4}g^{2}+3n^{2}f^{2}g^{4}-n^{2}g^{6},\\\mathrm {C} &=f^{3}-nf^{2}g+nfg^{2}+ng^{3},\\\mathrm {D} &=f^{3}+nf^{2}g+nfg^{2}-ng^{3}.\end{aligned}}$

$n=11.$

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=f^{10}-5n^{2}f^{8}g^{2}+30n^{3}f^{6}g^{4}-42n^{4}f^{4}g^{6}+15n^{5}f^{2}g^{4}-n^{6}g^{10},\\\mathrm {A} &=f^{5}+3nf^{4}g+2n^{2}f^{3}g^{2}+2n^{2}f^{2}g^{3}-n^{3}fg^{4}-n^{3}g^{5},\\\mathrm {B} &=f^{5}-3nf^{4}g+2n^{2}f^{3}g^{2}+2n^{2}f^{2}g^{3}-n^{3}fg^{4}+n^{3}g^{5},\\\mathrm {Q} &=f^{10}-15nf^{8}g^{2}+42n^{2}f^{6}g^{4}-30n^{3}f^{4}g^{6}+5n^{4}f^{2}g^{4}-n^{4}g^{10},\\\mathrm {C} &=f^{5}+nf^{4}g-2nf^{3}g^{2}-2n^{2}f^{2}g^{3}-3n^{2}fg^{4}-n^{2}g^{5},\\\mathrm {D} &=f^{5}-nf^{4}g-2nf^{3}g^{2}+2n^{2}f^{2}g^{3}-3n^{2}fg^{4}+n^{2}g^{5}.\end{aligned}}$

Au reste, la similitude qu’il y a entre les fonctions $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ permettrait de trouver aisément les facteurs de $\mathrm {Q}$ en les déduisant des facteurs de $\mathrm {P} ,$ ou réciproquement. Il faudrait pour cela mettre $ng$ et $f$ à la place de $f$ et $g$ respectivement.

63. Le théorème précédent peut être appliqué aux sections angulaires ; car si on fait $f=\cos .\varphi$ et $g{\sqrt {-n}}=\sin .\varphi ,$ on aura $f+g{\sqrt {-n}}=$$\cos .\varphi +{\sqrt {-1}}\sin .\varphi \,;$ d’où résulte $\mathrm {F} =\cos .n\varphi ,$ $\mathrm {G} {\sqrt {-n}}={\sqrt {-1}}\sin .n\varphi ,$ et par conséquent

$\mathrm {P} ={\frac {\cos .n\varphi }{\cos .\varphi }},\qquad \mathrm {Q} ={\frac {\sin .n\varphi }{n\sin .\varphi }}.$

Ainsi toutes les fois que $n$ sera un nombre premier de la forme $4m+3,$ les expressions de ${\frac {\cos .n\varphi }{\cos .\varphi }}$ et ${\frac {\sin .n\varphi }{n\sin .\varphi }},$ pourront