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RECHERCHES

être décomposées en deux facteurs rationnels du degré $2m+1.$

Par exemple, dans le cas de $n=7,$ on aura

${\frac {\cos .7\varphi }{\cos .\varphi }}=\left\{{\begin{aligned}&\left(\cos .^{3}\varphi +7^{\frac {1}{2}}\cos .^{2}\varphi \sin .\varphi -7\cos .\varphi \sin .^{2}\varphi +7^{\frac {1}{2}}\sin .^{3}\varphi \right)\times \\&\left(\cos .^{3}\varphi -7^{\frac {1}{2}}\cos .^{2}\varphi \sin .\varphi -7\cos .\varphi \sin .^{2}\varphi -7^{\frac {1}{2}}\sin .^{3}\varphi \right),\\\end{aligned}}\right.$

${\frac {\sin .7\varphi }{7\sin .\varphi }}=\left\{{\begin{aligned}&\left(\cos .^{3}\varphi -7^{\frac {1}{2}}\cos .^{2}\varphi \sin .\varphi +\cos .\varphi \sin .^{2}\varphi +7^{-{\frac {1}{2}}}\sin .^{3}\varphi \right)\times \\&\left(\cos .^{3}\varphi -7^{\frac {1}{2}}\cos .^{2}\varphi \sin .\varphi +\cos .\varphi \sin .^{2}\varphi +7^{-{\frac {1}{2}}}\sin .^{3}\varphi \right).\end{aligned}}\right.$

64. Pour appliquer ces formules à un cas particulier, soit proposé de diviser le quart de la circonférence ${\frac {\pi }{2}}$ en $7$ parties égales ; on fera $\varphi ={\frac {1}{14}}\pi ,$ ce qui donnera $\cos .7\varphi =0,$ et on trouvera $\cot .\varphi$ par la résolution de l’une ou l’autre des deux équations

${\begin{aligned}\cot .^{3}\varphi +7^{\frac {1}{2}}\cot .^{2}\varphi -7\cot .\varphi +7^{\frac {1}{2}}&=0,\\\cot .^{3}\varphi -7^{\frac {1}{2}}\cot .^{2}\varphi -7\cot .\varphi -7^{\frac {1}{2}}&=0,\end{aligned}}$

La première s’applique aux arcs $\varphi ={\frac {3\pi }{14}},\,{\frac {5\pi }{14}},\,{\frac {13\pi }{14}},$ la seconde aux arcs ${\frac {\pi }{14}},\,{\frac {9\pi }{14}},\,{\frac {11\pi }{14}},$ qui sont les suppléments des précédents.

On aurait directement par les formules ordinaires

${\frac {\cos .7\varphi }{\cos .\varphi }}=\cos .^{6}\varphi -21\cos .^{4}\varphi \sin .^{2}\varphi +35\cos .^{2}\varphi \sin .^{4}\varphi -7\sin .^{6}\varphi ,$

ce qui, dans le cas précédent, donnerait à résoudre l’équation

$0=\cot .^{6}\varphi -21\cot .^{4}\varphi +35\cot .^{2}\varphi -7\,;$

on a donc le choix ou de décomposer cette équation du sixième degré en deux autres du troisième, comme on vient