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ces quantités devront être également rationnelles. Or par les formules connues on trouve $y+z=pq-3r,$ $yz=q^{3}+p^{3}r-6pqr+9r^{2},$ donc $(y-z)^{2}=p^{2}q^{2}-4q^{3}+18pqr-4p^{3}r-27r^{2}\,;$ le second membre doit donc être un carré parfait.

On obtiendrait le même résultat par la considération des deux quantités $\int \alpha ^{3}{\text{ϐ}},\,\int \alpha ^{3}\gamma .$

Corollaire. Il suit de ce théorème que dans le cas où l’équation $x^{3}-px^{2}+qx-r=0$ a ses trois racines rationnelles, l’expression de l’une de ces racines par la formule de Cardan, est toujours de la forme

$x={\frac {1}{3}}p+\mathrm {\sqrt[{3}]{\left(A+B{\sqrt {-{\frac {1}{3}}}}\right)}} +\mathrm {\sqrt[{3}]{\left(A-B{\sqrt {-{\frac {1}{3}}}}\right)}} ,$

dans laquelle $\mathrm {A}$et $\mathrm {B}$ sont rationnels ainsi que $\mathrm {\sqrt[{3}]{\left(A^{2}+{\frac {1}{3}}B^{2}\right)}} .$

Théorème V. « Si l’on propose de trouver combien il y a de nombres premiers dans la progression arithmétique $\mathrm {A-C,\,2A-C} \ldots n\mathrm {A-C} ,$ où $\mathrm {C}$ est l’un des $k$ nombres plus petits que $\mathrm {A}$ et premiers à $\mathrm {A} ,$ le nombre cherché $x$ sera donné par la formule

$x={\frac {n\mathrm {A} }{k(\log .(n\mathrm {A} )-1.08366)}},$

laquelle sera d’autant plus exacte que $n$ sera plus grand. »

Par exemple, dans la progression $59,\,119,\,179,$ etc., dont le terme général est $60n-1,$ on a $k={\frac {60}{2}}\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{5}}\right)=16,$ et $x={\frac {{\cfrac {15}{4}}n}{\log .(60n)-1.08366}}.$ Ainsi dans les 100000 premiers termes de cette progression on devra trouver à très-peu-près $25820$ nombres premiers.