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D’ANALYSE INDÉTERMINÉE.

de le faire, ou d’employer la substitution $\cot .^{2}\varphi =x$ qui donne également à résoudre une équation du troisième degré.

Mais la décomposition que notre théorème fournit, a de plus l’avantage de faire connaître des propriétés nouvelles des sections angulaires. Car puisque dans notre exemple, les \cotangentes des trois arcs ${\frac {3\pi }{14}},\,{\frac {5\pi }{14}},\,{\frac {13\pi }{14}},$ sont les racines d’une même équation $x^{3}+7^{\frac {1}{2}}x^{2}-7x+7^{\frac {1}{2}}=0,$ il s’ensuit qu’on a

${\begin{aligned}\cot .{\frac {\pi }{14}}-\;\cot .{\frac {3\pi }{14}}-\ \ \cot .{\frac {5\pi }{14}}&={\sqrt {7}},\\\cot .^{2}{\frac {\pi }{14}}+\cot .^{2}{\frac {3\pi }{14}}+\cot .^{2}{\frac {5\pi }{14}}&=21,\\\cot .{\frac {\pi }{14}}\cot .{\frac {3\pi }{14}}\cot .{\frac {5\pi }{14}}&={\sqrt {7}},\end{aligned}}$

comme on peut le vérifier par le calcul trigonométrique.

Il resterait à trouver pour une valeur quelconque de $n,$ la loi générale des valeurs de $\varphi$ qui servent à composer les racines de chaque équation. On aurait ainsi de nouvelles formules qui s’ajouteraient aux nombreuses formules connues dans la théorie des sections angulaires.

65. Théorème IV. « Si l’équation $x^{3}-px^{2}+qx-r=0$ a ses trois racines rationnelles, la quantité $\mathrm {A} =p^{2}q^{2}-4q^{2}+18pqr-4p^{3}r-27r^{2},$ devra être un carré. »

En effet, soient $\alpha ,\,{\text{ϐ}},\,\gamma ,$ les racines rationnelles de l’équation proposée, en sorte qu’on ait $p=\alpha +{\text{ϐ}}+\gamma ,$ $q=\alpha {\text{ϐ}}+{\text{ϐ}}\gamma +\gamma \alpha ,$ $r=\alpha {\text{ϐ}}\gamma \,;$ si l’on cherche les valeurs des quantités $y$ et $z$ ainsi composées :

${\begin{aligned}y&=\alpha ^{2}{\text{ϐ}}+{\text{ϐ}}^{2}\gamma +\gamma ^{2}\alpha =\int \alpha ^{2}{\text{ϐ}},\\z&=\alpha ^{2}\gamma +{\text{ϐ}}^{2}\alpha +\gamma ^{2}{\text{ϐ}}=\int \alpha ^{2}\gamma ,\end{aligned}}$