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la série étant continuée jusqu’à ce que l’on arrive à un facteur $(i-2r)^{i-2}$ dans lequel $i-2r$ soit négatif. Si l’on fait $t$ égal à un angle droit, ce terme devient nul lorsque $i$ est impair ; et dans le cas de $i$ pair, il devient, abstraction faite du signe, égal à

${\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots {\overline {i-1}}.2^{i-1}}}.\left[i^{i-2}+{\frac {i}{1}}.(i-2)^{i-2}+{\frac {i.{\overline {i-1}}}{1.2}}.(i-4)^{i-2}+{\text{etc}}.\right]\,;\ (a)$

et il est alors le plus grand possible. Déterminons sa valeur, lorsque $i$ est un très-grand nombre.

Il est facile de voir que les termes de la série

$i^{i-2}+{\frac {i}{1}}.(i-2)^{i-2}+{\frac {i.{\overline {i-1}}}{1.2}}.(i-4)^{i-2}+{\text{etc}}.\,;\ (a')$

vont d’abord en croissant et qu’ils ont un maximum après lequel ils diminuent. À ce maximum, deux termes consécutifs sont à très-peu-près égaux. Soit

${\frac {i.{\overline {i-1}}.{\overline {i-2}}\ldots {\overline {i-r+1}}}{1.2.3\ldots r}}.(i-2r)^{i-2}$

le terme maximum. Le terme qui le précède, sera

${\frac {i.{\overline {i-1}}.\ldots {\overline {i-r+2}}}{1.2.3\ldots {\overline {r-1}}}}.(i-2r+2)^{i-2},$

en égalant donc ces deux termes on aura

${\frac {i-r+1}{r}}.(i-2r)^{i-2}=(i-2r+2)^{i-2}.$

Cette équation donne la valeur de $r,$ et par conséquent, le rang que le terme le plus grand occupe dans la série. Si l’on prend les logarithmes des deux membres, on a