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$\log .\left({\frac {i-r+1}{r}}\right)=(i-2).\log .\left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)\,;$

ou

$\log .\left({\frac {i-r}{r}}\right)+\log .\left(1+{\frac {1}{i-r}}\right)=(i-2).\log .\left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)\,;\ (b)$

or on a, lorsque $i$ et $r$ sont de très-grands nombres,

${\begin{aligned}&\log .\left(1+{\frac {1}{i-r}}\right)={\frac {1}{i-r}}-{\frac {1}{2.(i-r)^{2}}}+{\text{etc}}.\,;\\&\log .\left(1+{\frac {2}{i-2r}}\right)={\frac {2}{i-2r}}-{\frac {2}{(i-2r)^{2}}}+{\text{etc}}.\,;\end{aligned}}$

l’équation, $(b)$ deviendra donc, en négligeant les termes de l’ordre ${\frac {1}{i}},$

$\log .\left({\frac {i-r}{r}}\right)={\frac {2i}{i-2r}}\,;$

ce qui donne

${\frac {i-r}{r}}=c^{\frac {2i}{i-2r}}.$

$c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. En faisant $r=\omega i,$ on aura

${\frac {1-\omega }{\omega }}=c^{\frac {2}{1-2\omega }}\,;\quad (c)$

Si l’on nomme $p$ le terme maximum

${\frac {i.{\overline {i-1}}\ldots {\overline {i-r+1}}}{1.2.3\ldots r}}.(i-2r)^{i-2}\,;$

le terme qui en est éloigné du rang $t,$ sera

$p.{\frac {{\overline {i-r}}.{\overline {i-r-1}}\ldots {\overline {i-r-t+1}}}{{\overline {r+1}}.{\overline {r+2}}\ldots {\overline {r+t}}}}.\left({\frac {i-2r-2t}{i-2r}}\right)^{i-2}.$

Son logarithme sera donc