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d’où il est facile de conclure

${\frac {1-\omega }{\omega }}={\frac {\left(1+{\sqrt {1+e^{2}}}\right)}{e^{2}}}\,;$

l’équation $(c)$ donnera donc

$1+{\sqrt {1+e^{2}}}=e.c^{\sqrt {1+e^{2}}}\,;\quad (m)$

Les valeurs de $e,$ supérieures à celle que cette équation donne 1 rendent l’expression en série du rayon vecteur $\mathrm {R} ,$ divergente lorsque $t$ est un angle droit. Pour toutes les valeurs inférieures, cette série est convergente quelque soit $t.$ En effet, le terme général de l’expression de $\mathrm {R}$ développée en série ordonnée par rapport aux puissances de l’excentricité est comme on la vu,

$-{\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots {\overline {i-1}}.2^{i-1}}}.\left(i^{i-2}.\cos .it-i.(i-2)^{i-2}.\cos .(i-2)t+{\text{etc}}.\right)$

La plus grande valeur de ce terme, abstraction faite du signe, ne peut surpasser

${\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots {\overline {i-1}}.2^{i-1}}}.\left[i^{i-2}+i.(i-2)^{i-2}+{\frac {i.{\overline {i-1}}}{1.2}}.(i-4)^{i-2}+{\text{etc}}.\right].$

On vient de voir que cette valeur, lorsque $i$ est infini, devient nulle par un facteur moindre que l’unité, élevé à la puissance $i,$ lorsque l’excentricité $e$ est au-dessous de celle qui résulte de l’équation aux limites ; la série est donc convergente, quel que soit $t.$ Je vais maintenant établir qu’alors la série de l’expression de l’anomalie vraie développée de la même manière, est pareillement convergente.

II.

$u$ étant l’anomalie excentrique, et $v$ l’anomalie vraie ;