Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/258

on a par le n^o. 20 du second livre de la Mécanique céleste

${\begin{aligned}t&=u-e\sin .u\\\mathrm {R} &=1-e\cos .u\,;\end{aligned}}$

ce qui donne

${\frac {du}{dt}}={\frac {1}{\mathrm {R} }}\,;$

or on a, par la loi des aires proportionnelles aux temps,

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}}\,;$

on a donc

${\frac {dv}{dt}}=\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}.{\sqrt {1+e^{2}}}.$

L’expression en série de $u,$ du n^o. 22 du livre cité donne

${\frac {du}{dt}}=1+e.\cos .t+{\frac {e^{2}}{1.2.2}}.2^{2}.\cos .2t+{\frac {e^{3}}{1.2.3.2^{2}}}.\left(3^{3}\cos .3t-3.\cos .t\right)+{\text{etc}}.$

Le terme général de cette série est

${\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}$

$\times \left[i^{i}.\cos .it-i.(i-2)^{i}.\cos .(i-2)t+{\frac {i.{\overline {i-1}}}{1.2}}.(i-4)^{i}.\cos .(i-4)t-{\text{etc}}.\right],$

et dans aucun cas, il ne peut surpasser

${\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}.\left[i^{i}+i.(i-2)^{i}+{\frac {i.{\overline {i-1}}}{1.2}}.(i-4)^{i}+{\text{etc}}.\right].$

En suivant exactement l’analyse de l’article précédent, on trouve ce dernier terme égal à

${\frac {2}{\sqrt {i}}}.{\frac {(1-2\omega )}{\sqrt {2\pi }}}.\left[{\frac {ec.(1-2\omega )}{2\omega ^{\omega }.(1-\omega )^{1-\omega }}}\right]^{i}\,;\quad (e)$

$\omega$ étant-donné par l’équation $(c)$ de l’article précédent.