on a par le no. 20 du second livre de la Mécanique céleste
![{\displaystyle {\begin{aligned}t&=u-e\sin .u\\\mathrm {R} &=1-e\cos .u\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903b83d242ef25843a3d8724e86961d5e2bb7695)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}={\frac {1}{\mathrm {R} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68b48866b8922eb60c0992bb96dc15c3d52aa99)
or on a, par la loi des aires proportionnelles aux temps,
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7d222ceb3177ca1a9eb1119a66b13df6846484)
on a donc
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}.{\sqrt {1+e^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4e6e1520e8174b3974ca0e5967f1470227e564)
L’expression en série de
du no. 22 du livre cité donne
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}=1+e.\cos .t+{\frac {e^{2}}{1.2.2}}.2^{2}.\cos .2t+{\frac {e^{3}}{1.2.3.2^{2}}}.\left(3^{3}\cos .3t-3.\cos .t\right)+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d115cb0620662603c873c6b9ae9558de90c34f69)
Le terme général de cette série est
![{\displaystyle {\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17d556f95c0bb63cf2b624956d4ad4f86dca29d)
![{\displaystyle \times \left[i^{i}.\cos .it-i.(i-2)^{i}.\cos .(i-2)t+{\frac {i.{\overline {i-1}}}{1.2}}.(i-4)^{i}.\cos .(i-4)t-{\text{etc}}.\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ad69518e81d0c5c4bd442d188491f8f1db0162)
et dans aucun cas, il ne peut surpasser
![{\displaystyle {\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}.\left[i^{i}+i.(i-2)^{i}+{\frac {i.{\overline {i-1}}}{1.2}}.(i-4)^{i}+{\text{etc}}.\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b43d28ebd445afb367c7bf22acb52523ffe4f9b)
En suivant exactement l’analyse de l’article précédent, on trouve ce dernier terme égal à
![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {i}}}.{\frac {(1-2\omega )}{\sqrt {2\pi }}}.\left[{\frac {ec.(1-2\omega )}{2\omega ^{\omega }.(1-\omega )^{1-\omega }}}\right]^{i}\,;\quad (e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbbeb7dcaec96f3a592f5dd1e828caf790253d2)
étant-donné par l’équation
de l’article précédent.