![{\displaystyle \pm {\frac {e^{i}.i^{i-2}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}.{\frac {(i+2r).\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2r}}{1.2.3.\ldots r{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}\ldots {\overline {i+r}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c08591d41bd0e633db448803730e8f479a2e758)
Si l’on observe que
étant un très-grand nombre, on a à fort peu près
![{\displaystyle 1.2.3.\ldots r.1.2.3.\ldots {\overline {i+r}}=r^{r+{\frac {1}{2}}}.(i+r)^{i+r+{\frac {1}{2}}}.c^{-i-2r}.2\pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027a62cecfdb27b378ca089a5b311d7c21e4ca31)
on peut donner à.ce terme, la forme
![{\displaystyle \pm {\frac {e^{i}.c^{i}.i^{i-2}.(i+2r)}{2^{i}.\pi .(i+r)^{i}.{\sqrt {r.i+r}}}}.\left({\frac {e^{2}i^{2}.c}{4r.{\overline {i+r}}}}\right)^{i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b8a3031d06eb408c8ad4bcd166bafa47768061)
quantité qui devient nulle, lorsque
est infini. La série de l’expression de
est donc convergente.
Pour avoir sa valeur approchée, je considère la série
![{\displaystyle i+{\frac {\overline {i+2}}{1.{\overline {i+1}}}}.\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2}+{\frac {\overline {i+4}}{1.2.{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}}}.\left({\frac {ei}{2}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\,;\quad (m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920222a76c5cd1cc76b2c77fd797e688aecd1d4d)
dont le terme général est
![{\displaystyle {\frac {(i+2r).\left({\cfrac {ei}{2}}\right)^{2r}}{1.2.3\ldots r.{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}\ldots {\overline {i+r}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0421d85c833a9eaa3277689c48903f49eca0f9)
On aura, par la méthode exposée dans l’article premier, la somme de cette série fort approchée lorsque
est un très-grand nombre. Nommons
le terme précédent, et supposons qu’il soit le plus grand des termes de la série. Pour avoir le rang qu’il y occupe, on l’égalera, suivant la méthode citée, au terme qui le précède ce qui donne
![{\displaystyle (i+2r-2).r.{\overline {i+r}}=(i+2r).{\frac {i^{2}e^{2}}{4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b844fe2edc23defd783a8b5caceb57828dc44030)