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$\pm {\frac {e^{i}.i^{i-2}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}.{\frac {(i+2r).\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2r}}{1.2.3.\ldots r{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}\ldots {\overline {i+r}}}}.$

Si l’on observe que $r$ étant un très-grand nombre, on a à fort peu près

$1.2.3.\ldots r.1.2.3.\ldots {\overline {i+r}}=r^{r+{\frac {1}{2}}}.(i+r)^{i+r+{\frac {1}{2}}}.c^{-i-2r}.2\pi \,;$

on peut donner à.ce terme, la forme

$\pm {\frac {e^{i}.c^{i}.i^{i-2}.(i+2r)}{2^{i}.\pi .(i+r)^{i}.{\sqrt {r.i+r}}}}.\left({\frac {e^{2}i^{2}.c}{4r.{\overline {i+r}}}}\right)^{i}\,;$

quantité qui devient nulle, lorsque $r$ est infini. La série de l’expression de $b^{(i)}$ est donc convergente.

Pour avoir sa valeur approchée, je considère la série

$i+{\frac {\overline {i+2}}{1.{\overline {i+1}}}}.\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2}+{\frac {\overline {i+4}}{1.2.{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}}}.\left({\frac {ei}{2}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\,;\quad (m)$

dont le terme général est

${\frac {(i+2r).\left({\cfrac {ei}{2}}\right)^{2r}}{1.2.3\ldots r.{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}\ldots {\overline {i+r}}}}.$

On aura, par la méthode exposée dans l’article premier, la somme de cette série fort approchée lorsque $i$ est un très-grand nombre. Nommons $p$ le terme précédent, et supposons qu’il soit le plus grand des termes de la série. Pour avoir le rang qu’il y occupe, on l’égalera, suivant la méthode citée, au terme qui le précède ce qui donne

$(i+2r-2).r.{\overline {i+r}}=(i+2r).{\frac {i^{2}e^{2}}{4}}\,;$