![{\displaystyle \mathrm {R} =b^{(0)}+b^{(1)}.\cos .t\ldots +b^{(i)}.\cos .it+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b99e6a5d8f5816d68e8da4a8090781c90e4f2d)
etc.
on aura
![{\displaystyle \pi .b^{(i)}=\int \mathrm {R} dt.\cos .it}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316cad5592807e3e46f8ce0b2deca7b0a682a12c)
l’intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
égal à
ce qui donne
![{\displaystyle \pi .b^{(i)}=-{\frac {1}{i^{2}}}.\int dt.\cos .it.{\frac {dd\mathrm {R} }{dt^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad31e015b4a8a4c280024717a70a0f7f2e438bd)
Les formules du mouvement elliptique donnent
![{\displaystyle {\frac {dd\mathrm {R} }{dt^{2}}}={\frac {1-e^{2}-\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67cc5de8e450a7aba97248c9f34c9aba2b52897)
Cette dernière quantité est toujours négative. Désignons par
son maximum, et supposons
égal à l’unité ; on aura, abstraction faite du signe,
moindre que
d’où il suit que la série de l’expression de
est convergente.
On peut en suivant la méthode exposée dans le no précédent, déterminer la valeur approchée de
lorsque
est un grand nombre. Pour cela j’observe que l’expression de
développée en série par rapport aux puissances de l’excentricité, et que nous avons rapportée dans l’article premier, donne
![{\displaystyle b^{(i)}=-{\frac {e^{i}.i^{i-2}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}.\left[i-{\frac {\overline {i+2}}{1.{\overline {i+1}}}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2}+{\frac {\overline {i+4}}{1.2.{\overline {i+1}}{\overline {i+2}}}}.\left({\frac {ei}{2}}\right)^{4}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85bcb5873a17dada490ed7482f3dc7af99ffc2c)
![{\displaystyle \left.-{\frac {\overline {i+6}}{1.2.3.{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}.{\overline {i+3}}}}.\left({\frac {ei}{2}}\right)^{6}+{\text{etc}}.\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87656649e3abb6e0629dc64b188dbb8a4c1ca4d)
Le terme général de cette expression est