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$\mathrm {R} =b^{(0)}+b^{(1)}.\cos .t\ldots +b^{(i)}.\cos .it+$etc.

on aura

$\pi .b^{(i)}=\int \mathrm {R} dt.\cos .it$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ égal à $2\pi \,;$ ce qui donne

$\pi .b^{(i)}=-{\frac {1}{i^{2}}}.\int dt.\cos .it.{\frac {dd\mathrm {R} }{dt^{2}}}.$

Les formules du mouvement elliptique donnent

${\frac {dd\mathrm {R} }{dt^{2}}}={\frac {1-e^{2}-\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{3}}}.$

Cette dernière quantité est toujours négative. Désignons par $-k'$ son maximum, et supposons $\cos .it$ égal à l’unité ; on aura, abstraction faite du signe, $\pi b^{(i)}$ moindre que ${\frac {2k'\pi }{i^{2}}}\,;$ d’où il suit que la série de l’expression de $\mathrm {R}$ est convergente.

On peut en suivant la méthode exposée dans le n^o précédent, déterminer la valeur approchée de $b^{(i)},$ lorsque $i$ est un grand nombre. Pour cela j’observe que l’expression de $\mathrm {R}$ développée en série par rapport aux puissances de l’excentricité, et que nous avons rapportée dans l’article premier, donne

$b^{(i)}=-{\frac {e^{i}.i^{i-2}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}.\left[i-{\frac {\overline {i+2}}{1.{\overline {i+1}}}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2}+{\frac {\overline {i+4}}{1.2.{\overline {i+1}}{\overline {i+2}}}}.\left({\frac {ei}{2}}\right)^{4}\right.$

$\left.-{\frac {\overline {i+6}}{1.2.3.{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}.{\overline {i+3}}}}.\left({\frac {ei}{2}}\right)^{6}+{\text{etc}}.\right].$

Le terme général de cette expression est