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Il est facile de voir que ce sera aussi l’expression du terme qui précède $p,$ du même intervalle $t.$ La somme de la série $(m),$ sera donc à très-peu-près

$p.\int dt.c^{-{\frac {{\overline {i+2r}}.t^{2}}{2r.{\overline {i+r}}}}}$

l’intégrale étant prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=-\infty \,;$ ce qui donne cette somme égale à

$p.{\sqrt {2\pi }}.{\sqrt {\frac {r.{\overline {i+r}}}{i+2r}}}.$

Si dans l’expression précédente de $p,$ on substitue au lien du produit

$1.2.3\ldots r.{\overline {i+1}}.{\overline {i+2}}\ldots {\overline {i+r}}$

sa valeur très-rapprochée

${\frac {\left(r.{\overline {i+r}}\right)^{r}.(i+r)^{i}.2\pi .c^{-i-2r}.{\sqrt {r.{\overline {i+r}}}}}{1.2.3\ldots i}}$

on aura

$p={\frac {1.2.3\ldots i.(i+2r).c^{i+2r}}{2\pi .{\sqrt {r.{\overline {i+r}}}}(i+r)^{i}}}\,;$

ce qui en observant que $i+2r$ est égal à $i.{\sqrt {1+e^{2}}},$ et que $i+r$ est égal à

${\frac {i.{\sqrt {1+e^{2}}}+i}{2}}\,;$

donne pour la somme de la série $(m),$

${\frac {1.2.3\ldots i.\left(1+e^{2}\right)^{\frac {1}{4}}.2^{i}.c^{i{\sqrt {1+e^{2}}}}.{\sqrt {i}}}{{\sqrt {2\pi }}.i^{i}.\left({\sqrt {1+e^{2}}}+1\right)^{i}}}.$

En changeant $e^{2}$ dans $-e^{2},$ dans cette expression, on aura