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$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=q^{2}+p^{2}+m^{2}-2mp.\cos .\omega$

donne

$\mathrm {d} r={\frac {mp\sin .\omega d\omega }{r}},$

qu’on supprime les termes qui sont nuls parce que ces intégrales doivent être prises depuis $\omega =0$ jusqu’à $\omega =2\pi ,$ et qu’on mette les valeurs de $\mathrm {A,B,C}$ ainsi trouvées dans celle de $\mathrm {U,}$

${\rm {U=A\cos .\xi +B\cos .\eta +C\cos .\zeta ,}}$

on obtiendra

$\mathrm {U} =m\left[(n+1)\left(p^{2}\cos .\zeta -pq\cos .\xi \right)\int {\frac {\sin .^{2}\omega d\omega }{r^{n+3}}}-\cos .\zeta \int {\frac {d\omega }{r^{n+1}}}\right].$

Or, l’angle $\xi$ peut être exprimé au moyen de $\zeta \,;$ car, en désignant par $h$ la perpendiculaire $\mathrm {OK}$ abaissée du centre $\mathrm {O}$ sur le plan $b\mathrm {AG}$ pour lequel on calcule la valeur de $\mathrm {U} ,$ on aura $h=q\cos .\zeta +p\cos .\xi ,$ et cette valeur deviendra

$\mathrm {U} =m^{2}\left\{(n+1)\left[\left(p^{2}+q^{2}\right)\cos .\zeta -hq\right]\int {\frac {\sin .^{2}\omega d\omega }{r^{n+3}}}-\cos .\zeta \int {\frac {d\omega }{r^{n+1}}}\right\}.$

L’évaluation en est bien simple dans le cas où le rayon $m$ est très-petit par rapport à la distance $l$ de l’origine $\mathrm {A}$ au centre $\mathrm {O} \,;$ car, si on la développe en série suivant les puissances de $m,$ on verra que quand on néglige les puissances de $m$ supérieures à $3,$ les termes en $m^{3}$ s’évanouissent entre les limites $0,\,2\pi ,$ et que ceux en $m^{2}$ s’obtiennent en remplaçant $r$ par $l={\sqrt {p^{2}+q^{2}}}\,;$ il ne reste alors qu’à calculer les valeurs de

$\int \sin .^{2}\omega d\omega$ et de $\int d\omega$ depuis $\omega =0$ jusqu’à $\omega =2\pi \,;$