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ce qui donne $\pi$ pour la première, et $2\pi$ pour la seconde ; la valeur de $\mathrm {U}$ se réduit donc à

$\mathrm {U} =\pi m^{2}\left[{\frac {(n+1)cos.\zeta }{l^{n+1}}}-{\frac {(n+1)hq}{l^{n+3}}}\right].$

Pour plus de généralité, nous allons supposer maintenant que le courant fermé, au lieu d’être circulaire, ait une forme quelconque, mais sans cesser d’être plan et très-petit.

Soit $\mathrm {MNL}$ (fig. 15) un très-petit circuit fermé et plan dont l’aire soit $\lambda$ et qui agisse sur un élément placé à l’origine $\mathrm {A} .$ Partageons sa surface en éléments infiniment petits, par des plans passant par l’axe des $z,$ et soit $\mathrm {APQ}$ la trace d’un de ces plans, et $\mathrm {M,N}$ ses points de rencontre avec le circuit $\lambda ,$ projetés sur le plan des $xy$ en $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$ Prolongeons la corde $\mathrm {MN}$ jusqu’à l’axe des $z$ en $\mathrm {G} \,;$ abaissons de $\mathrm {A}$ une perpendiculaire $\mathrm {AE} =q$ sur le plan du circuit, et joignons $\mathrm {EG} .$ Soit $\mathrm {A} pq$ la trace d’un plan infiniment voisin du premier, faisant avec celui-ci un angle $\mathrm {d} \varphi \,;$ faisons $\mathrm {AP} =u$ et $\mathrm {PQ} =\delta u.$ L’action du circuit sur l’élément en $\mathrm {A}$ dépend, comme nous l’avons vu, de trois intégrales désignées par $\mathrm {A,B,C} ,$ que nous allons calculer. Considérons d’abord $\mathrm {C} ,$ dont la valeur est

$\mathrm {C} =\int {\frac {x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x}{r^{n+1}}}=\int {\frac {u^{2}\mathrm {d} \varphi }{r^{n+1}}}.$

Cette intégrale est relative à tous les points du circuit, et si l’on considère simultanément les deux éléments compris entre les deux plans voisins $\mathrm {AGNQ}$ et $\mathrm {AG} nq,$ et qui se rapportent à des valeurs égales et des signes contraires de $\mathrm {d} \varphi ,$ on verra que les actions de ces deux éléments doivent être ôtées l’une de l’autre, et que celle de l’élément qui est le plus