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multiplier la force suivant $\mathrm {MM} '$ par $\mathrm {{\frac {MP}{MM'}}.AQ} ,$ ou par ${\frac {ss'\sin .\varepsilon }{r}}\,;$ on aura ainsi

${\frac {1}{2}}ii'\sin .\varepsilon \left(ss'{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}\mathrm {d} s\mathrm {d} s'+ss'{\frac {\cos .\varepsilon \mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{3}}}\right)\,;$

posant ${\frac {ss'}{r}}=q,$ on aura

${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} s}}={\frac {s'}{r}}+{\frac {ss'\mathrm {d} {\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s}},$

et

${\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}={\frac {1}{r}}-{\frac {s'}{r^{2}}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {s}{r^{2}}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}+ss'{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}$

$={\frac {1}{r}}-{\frac {s'(s'-s\cos .\varepsilon )+s(s-s'\cos .\varepsilon )}{r^{3}}}+ss'{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}\,;$

et en réduisant,

${\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}={\frac {a^{2}}{r^{3}}}+{\frac {ss'\mathrm {d} ^{2}{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}},$

d’où l’on tirera

$ss'{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}-{\frac {a^{2}}{r^{3}}}.$

Or, nous avons trouvé précédemment

$r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s}}.{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} s'}}=-\cos .\varepsilon ,$

ou

$r{\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}}+{\frac {(s-s'\cos .\varepsilon )(s'-s\cos .\varepsilon )}{r^{2}}}=-\cos .\varepsilon \,;$

effectuant la multiplication et remplaçant $s^{2}+s'^{2}$ par sa valeur tirée de

$r^{2}=a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon ,$