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en intégrant par rapport à $s,$ il vient

${\frac {1}{2}}aii'(s'-b){\frac {d{\frac {1}{r}}}{\mathrm {d} s'}}\mathrm {d} s'\,;$

et en appelant $r'$ et $r''$ les distances $\mathrm {M'L',M'L''}$ de $\mathrm {M} '$ aux points $\mathrm {L',L''} ,$ et intégrant entré ces limites l’action de $\mathrm {L'L''} ,$ pour faire tourner l'élément $\mathrm {M} ',$ est

${\frac {1}{2}}aii'(s'-b)\mathrm {d} s'\left({\frac {\mathrm {d} {\frac {1}{r''}}}{\mathrm {d} s'}}-{\frac {\mathrm {d} {\frac {1}{r'}}}{\mathrm {d} s'}}\right),$

expression qu’il faut intégrer par rapport à $s'.$ Or

${\frac {1}{2}}aii'\int (s'-b)\mathrm {d} {\frac {1}{r''}}={\frac {1}{2}}aii'\left({\frac {s'-b}{r''}}-\int {\frac {\mathrm {d} s'}{r''}}\right),$

et il est d’ailleurs aisé de voir qu’en nommant $c$ la valeur $\mathrm {AL} ''$ de $s$ qui correspond à $r'',$ et qui est une constante dans l’intégration actuelle, on a $\mathrm {A'L} ''={\sqrt {a^{2}+c^{2}}},$ d’où il suit que

$r''={\frac {\sqrt {a^{2}+c^{2}}}{\sin .\beta ''}},\quad s'=-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\cot .\beta '',\quad \mathrm {d} s'={\frac {\sqrt {a^{2}+c^{2}}}{\sin .^{2}\beta ''}}d\beta ''\,;$

ainsi

$\int {\frac {\mathrm {d} s'}{r''}}=\int {\frac {\mathrm {d} \beta ''}{\sin .\beta ''}}=\operatorname {l} {\frac {\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta ''_{2}}{\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta ''_{1}}}\,;$

le second terme s’intégrera de la même manière, et l’on aura enfin pour le moment de rotation cherché

${\frac {1}{2}}aii'\left({\frac {s'_{2}-b}{r_{2}''}}-{\frac {s'_{1}-b}{r_{1}''}}-{\frac {s'_{2}-b}{r_{2}'}}+{\frac {s'_{1}-b}{r_{1}'}}-\operatorname {l} {\frac {\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta ''_{2}\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta '_{1}}{\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta ''_{1}\operatorname {tang} .{\frac {1}{2}}\beta '_{2}}}\right).$

Dans le cas où l’axe de rotation parallèle à la droite $\mathrm {L'L} ''$ ou $s$ passe par le point d’intersection $\mathrm {A} '$ des droites $a$ et $s',$ on a $b=0\,;$ et si l’on suppose, en outre, que le courant qui