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changeant dans cette expression $\mu$ en $\mu '$ et $s$ en $s',$ on a pour l’intégrale totale, à cause que $\mu +\mu '=\pi -\varepsilon ,$

${\frac {1}{a}}\left(\pi -\varepsilon -\operatorname {arc.tang} {\frac {a(s'-s\cos .\varepsilon )}{s\sin .\varepsilon {\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}}}-\operatorname {arc.tang} .{\frac {a\cot .\varepsilon }{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}\right.$

$\left.-\operatorname {arc.tang} {\frac {a(s-s'\cos .\varepsilon )}{s'\sin .\varepsilon {\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}}}-\operatorname {arc.tang} .{\frac {a\cot .\varepsilon }{\sqrt {a^{2}+s'^{2}}}}\right).$

En calculant la tangente de la somme des deux arcs dont les valeurs contiennent $s$ et $s',$ on change cette expression en

${\frac {1}{a}}\left(\pi -\varepsilon -\operatorname {arc.tang} {\frac {a\sin .\varepsilon {\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}}{ss'\sin .^{2}\varepsilon +a^{2}\cos .\varepsilon }}\right.$

$\left.-\operatorname {arc.tang} {\frac {a\cot .\varepsilon }{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}-\operatorname {arc.tang} .{\frac {a\cot .\varepsilon }{\sqrt {a^{2}+s'^{2}}}}\right)\,;$

et comme

${\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arc.tang} {\frac {a\sin .\varepsilon {\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}}{ss'\sin .^{2}\varepsilon +a^{2}\cos .\varepsilon }}$

$=\operatorname {arc.tang} {\frac {ss'\sin .^{2}\varepsilon +a^{2}\cos .\varepsilon }{a\sin .\varepsilon {\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}}},$

on a, en divisant par $\sin .\varepsilon ,$

$\iint {\frac {\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{r^{3}}}={\frac {1}{a\sin .\varepsilon }}\left(\operatorname {arc.tang} {\frac {ss'\sin .^{2}\varepsilon +a^{2}\cos .\varepsilon }{a\sin .\varepsilon {\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}}}\right.$

$\left.-\operatorname {arc.tang} {\frac {a\cot .\varepsilon }{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}-\operatorname {arc.tang} .{\frac {a\cot .\varepsilon }{\sqrt {a^{2}+s'^{2}}}}+{\frac {\pi }{2}}-\varepsilon \right)\,;$

expression qui, lorsqu’on suppose $\varepsilon ={\frac {\pi }{2}},$ se réduit à

${\frac {1}{a}}\left(\operatorname {arc.tang} {\frac {ss'}{a{\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}}}}}\right),$

comme nous l’avons trouvé précédemment.