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${\frac {\mathrm {d} s\mathrm {d} s'}{\left(a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon \right)^{\frac {3}{2}}}}$

est

${\frac {1}{a\sin .\varepsilon }}\operatorname {arc.tang} .{\frac {ss'\sin .^{2}\varepsilon +a^{2}\cos .\varepsilon }{a\sin .\varepsilon {\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}}},$

ou

$-{\frac {1}{a\sin .\varepsilon }}\operatorname {arc.tang} .{\frac {a\sin .\varepsilon {\sqrt {a^{2}+s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}}{ss'\sin .^{2}\varepsilon +a^{2}\cos .\varepsilon }},$

en supprimant la constante ${\frac {\pi }{2}}.$ Quand $a$ est nul, cette quantité se présente sous la forme ${\frac {0}{0}}\,;$ mais comme l’arc doit être alors remplacé par sa tangente, le facteur nul $a\sin .\varepsilon$ disparaît, et l’on a

$\iint {\frac {dsds'}{\left(s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon \right)^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {\sqrt {s^{2}+s'^{2}-2ss'\cos .\varepsilon }}{ss'\sin .^{2}\varepsilon }},$

qu’il est aisé de vérifier par la différentiation. On en conclut immédiatement que l’expression de la force que nous calculons, considérée comme une intégrale indéfinie, est

$-{\frac {\rho {\sqrt {x^{2}+y^{2}-2xy\cos .2\varepsilon }}}{xy\sin .2\varepsilon }}=-{\frac {\rho }{p}},$

en nommant $p$ la perpendiculaire $\mathrm {PQ}$ abaissée du point $\mathrm {P}$ sur $\mathrm {BM} ,$ parce que le double de l’aire du triangle $\mathrm {BPM}$ est à la fois égal à $p{\sqrt {x^{2}+y^{2}+2xy\cos .2\varepsilon }}$ et à $xy\sin .2\varepsilon ,$ ce qui donne

${\frac {1}{p}}={\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}-2xy\cos .2\varepsilon }}{xy\sin .2\varepsilon }}.$

Il ne reste plus maintenant qu’à calculer les valeurs que prend cette intégrale indéfinie aux quatre sommets $\mathrm {N,R,T,S}$ du parallélogramme, et à les ajouter avec des signes convenables ; ent continuant de désigner respectivement par $p_{1,1},p_{1,2},p_{2,1},p_{2,2}$ les