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MÉMOIRE SUR LES LOIS

$f(\rho ).\delta \rho$ qui répondent à ces huit points, il viendra

${\frac {8.f(\rho )}{\rho }}\left({\frac {d\delta x}{dx}}\alpha ^{2}+{\frac {d\delta y}{dy}}\beta ^{2}+{\frac {d\delta z}{dz}}\gamma ^{2}\right).$

Il ne reste plus qu’à intégrer par rapport à $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ dans l’étendue du huitième de sphère où ces quantités n’ont que des valeurs positives. Pour cela on changera ces coordonnées en coordonnées polaires, et désignant par $\psi$ l’angle du rayon $\rho$ avec sa projection sur le plan des $\alpha \beta ,$ par $\varphi$ l’angle que forme cette projection avec l’axe des $\alpha ,$ on aura

${\begin{aligned}&\alpha =\rho \cos .\phi \cos .\varphi ,\\&\beta =\rho \cos .\phi \sin .\varphi ,\\&\gamma =\rho \sin .\psi .\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans l’expression précédente ; multipliant par l’élément de volume $d\rho .d\psi .d\varphi .\rho ^{2}\cos .\varphi ,$ et intégrant entre les limites convenables, il vient

${\begin{aligned}8\int _{0}^{\infty }d\rho .\rho ^{3}f(\rho )\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\phi \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\varphi \left({\frac {d\delta x}{dx}}\cos .^{3}\psi .\cos .^{2}\varphi \right.&+{\frac {d\delta y}{dy}}\cos .^{3}\psi .\sin .^{2}\varphi \\&\,\left.+{\frac {d\delta z}{dz}}\sin .^{2}\psi .\cos .\psi \right).\end{aligned}}$

ou bien, parce que $\textstyle \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\psi .\cos .^{3}\psi ={\tfrac {2}{3}},$ $\textstyle \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\psi .\sin .^{2}\psi \cos .\psi ={\tfrac {1}{3}},$ $\textstyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\varphi .\cos .^{3}\varphi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\psi .\sin .^{3}\psi ={\frac {\pi }{4}},$

$8.{\frac {2}{3}}.{\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{\infty }d\rho .\rho ^{3}f(\rho ).\left({\frac {d\delta x}{dx}}+{\frac {d\delta y}{dy}}+{\frac {d\delta z}{dz}}\right).$

Posant maintenant $\textstyle {\tfrac {4\pi }{3}}\int _{0}^{\infty }d\rho .\rho ^{3}f(\rho )=p,$ en désignant par