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MÉMOIRE SUR LES LOIS
qui répondent à ces huit points, il viendra
![{\displaystyle {\frac {8.f(\rho )}{\rho }}\left({\frac {d\delta x}{dx}}\alpha ^{2}+{\frac {d\delta y}{dy}}\beta ^{2}+{\frac {d\delta z}{dz}}\gamma ^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6de30a5a5975ee50b3ed67e4a57dabd0761a25)
Il ne reste plus qu’à intégrer par rapport à
dans l’étendue du huitième de sphère où ces quantités n’ont que des valeurs positives. Pour cela on changera ces coordonnées en coordonnées polaires, et désignant par
l’angle du rayon
avec sa projection sur le plan des
par
l’angle que forme cette projection avec l’axe des
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\rho \cos .\phi \cos .\varphi ,\\&\beta =\rho \cos .\phi \sin .\varphi ,\\&\gamma =\rho \sin .\psi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d8e73ba6290da78dfb5d166253bc0c6ca5b770)
Substituant ces valeurs dans l’expression précédente ; multipliant par l’élément de volume
et intégrant entre les limites convenables, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}8\int _{0}^{\infty }d\rho .\rho ^{3}f(\rho )\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\phi \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\varphi \left({\frac {d\delta x}{dx}}\cos .^{3}\psi .\cos .^{2}\varphi \right.&+{\frac {d\delta y}{dy}}\cos .^{3}\psi .\sin .^{2}\varphi \\&\,\left.+{\frac {d\delta z}{dz}}\sin .^{2}\psi .\cos .\psi \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc75de21ba8888b90db5d7fd52731620e8d39fcb)
ou bien, parce que
![{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\varphi .\cos .^{3}\varphi =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\psi .\sin .^{3}\psi ={\frac {\pi }{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc8665b494d0e7802187edbaa52520e63f7cf21)
![{\displaystyle 8.{\frac {2}{3}}.{\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{\infty }d\rho .\rho ^{3}f(\rho ).\left({\frac {d\delta x}{dx}}+{\frac {d\delta y}{dy}}+{\frac {d\delta z}{dz}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f71eb2147adc9497c0b817cfa71fec524fb2d98)
Posant maintenant
en désignant par