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MÉMOIRE SUR LES LOIS

précédente, elle se changera en

${\begin{aligned}0&=\iiint dxdydz\left[\left(\mathrm {P} -{\tfrac {dp}{dx}}\right)\delta x+\left(\mathrm {Q} -{\tfrac {dp}{dy}}\right)\delta y+\left(\mathrm {R} -{\tfrac {dp}{dz}}\right)\delta z\right]\\&-\iint dydz\left(p'\delta x'-p''\delta x''\right)-\iint dxdz\left(p'\delta y'-p''\delta y''\right)\\&-\iint dxdy\left(p'\delta z'-p''\delta z''\right),\end{aligned}}$

en marquant d’un et de deux accents les lettres représentant les quantités appartenant aux limites des intégrales.

On a donc en premier lieu, pour les conditions de l’équilibre d’un point quelconque de l’intérieur du fluide, les équations indéfinies

${\frac {dp}{dx}}=\mathrm {P} ,\,{\frac {dp}{dy}}=\mathrm {Q} ,\,{\frac {dp}{dz}}=\mathrm {R} ,$

qui signifient que les expressions des forces $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R} ,$ données en fonction de $x,$ $y,$ $z,$ doivent être respectivement les différentielles partielles prises par rapport à $x,$ à $y,$ à $z,$ d’une même fonction $p$ de ces coordonnées. La différentielle complète de cette fonction est donc

$dp=\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz,$

et l’on a par conséquent

$p=\int \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right)+{\textit {const}}.$

formule où la fonction sous le signe $\textstyle \int$ doit être nécessairement susceptible d’une intégration exacte, pour que le fluide soumis à l’action des forces représentées par $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R} ,$ puisse demeurer en équilibre.