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MÉMOIRE SUR LES LOIS
précédente, elle se changera en
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\iiint dxdydz\left[\left(\mathrm {P} -{\tfrac {dp}{dx}}\right)\delta x+\left(\mathrm {Q} -{\tfrac {dp}{dy}}\right)\delta y+\left(\mathrm {R} -{\tfrac {dp}{dz}}\right)\delta z\right]\\&-\iint dydz\left(p'\delta x'-p''\delta x''\right)-\iint dxdz\left(p'\delta y'-p''\delta y''\right)\\&-\iint dxdy\left(p'\delta z'-p''\delta z''\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c65bb4fb5b7dd50a3c9080588c2aaa9d5ed210)
en marquant d’un et de deux accents les lettres représentant les quantités appartenant aux limites des intégrales.
On a donc en premier lieu, pour les conditions de l’équilibre d’un point quelconque de l’intérieur du fluide, les équations indéfinies
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=\mathrm {P} ,\,{\frac {dp}{dy}}=\mathrm {Q} ,\,{\frac {dp}{dz}}=\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8263024c78524fcde7eda81a7976423034425ce)
qui signifient que les expressions des forces
données en fonction de
doivent être respectivement les différentielles partielles prises par rapport à
à
à
d’une même fonction
de ces coordonnées. La différentielle complète de cette fonction est donc
![{\displaystyle dp=\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17c5da1630283c78b6d77224913f0285ece047c)
et l’on a par conséquent
![{\displaystyle p=\int \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right)+{\textit {const}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0fbe81f58f99b49890885a8ef8231b88947571)
formule où la fonction sous le signe
doit être nécessairement susceptible d’une intégration exacte, pour que le fluide soumis à l’action des forces représentées par
puisse demeurer en équilibre.