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DU MOUVEMENT DES FLUIDES.

Si aucune force n’était appliquée aux points intérieurs du fluide, la valeur de $p$ devrait être constante dans toute l’étendue de ce corps.

En second lieu, à l’égard des points appartenant à la surface, si l’on désigne par $l,$ $m,$ $n$ les angles que forme un plan tangent à la surface mené au point dont les coordonnées sont $x,$ $y,$ $z,$ avec les plans des $yz,$ des $xz$ et des $xy,$ et par $ds^{2}$ l’élément différentiel de la surface, on pourra remplacer $dydz$ par $ds^{2}.\cos .l,$ $dxdz$ par $ds^{2}.\cos .m,$ et $dxdy$ par $ds^{2}.\cos .n$ (Voyez la Mécanique analytique, 1^re partie, section VII, art. 29 et 30). La partie de l’équation qui est relative à ces points devient donc

${\begin{aligned}0=\mathbf {S} ds^{2}\left[(p'\cos .l'\delta x'-p''\cos .l''\delta x'')\right.&+(p'\cos .m'\delta y'-p''\cos .m''\delta y'')\\&\,\left.+\ (p'\cos .n'\delta z'-p''\cos .n''\delta z'')\right].\end{aligned}}$

On en conclut que dans la partie de la surface qui est libre, où les variations des coordonnées de chaque point sont entièrement indéterminées, on doit avoir $p=0.$ Ainsi, la figure que doit affecter cette partie de la surface est donnée en termes finis par l’équation

$0=\int \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right)+{\textit {const.}}\ :$

l’équation différentielle est

$0=\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz,$

en sorte que la résultante des forces $P,$ $Q,$ $R$ agissant sur chaque molécule du fluide placée à la surface libre, doit être dirigée suivant la normale à cette surface.