Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/591

403

DU MOUVEMENT DES FLUIDES.

${\frac {8.f(\rho )}{\rho ^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {du}{dx}}{\frac {\delta du}{dx}}\alpha ^{4}+{\frac {du}{dy}}{\frac {\delta du}{dy}}\alpha ^{2}\beta ^{2}+{\frac {du}{dz}}{\frac {\delta du}{dz}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)+\\&\left({\frac {dv}{dy}}{\frac {\delta du}{dx}}\alpha ^{2}\beta ^{2}+{\frac {dv}{dx}}{\frac {\delta du}{dy}}\alpha ^{2}\beta ^{2}\right)+\\&\left({\frac {dw}{dz}}{\frac {\delta du}{dx}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}+{\frac {dw}{dx}}{\frac {\delta du}{dz}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)+\\&\left({\frac {du}{dx}}{\frac {\delta dv}{dy}}\alpha ^{2}\beta ^{2}+{\frac {du}{dy}}{\frac {\delta dv}{dx}}\alpha ^{2}\beta ^{2}\right)+\\&\left({\frac {dv}{dx}}{\frac {\delta dv}{dx}}\alpha ^{2}\beta ^{2}+{\frac {dv}{dy}}{\frac {\delta dv}{dy}}\beta ^{4}+{\frac {dv}{dz}}{\frac {\delta dv}{dz}}\beta ^{2}\gamma ^{2}\right)+\\&\left({\frac {dw}{dy}}{\frac {\delta dv}{dz}}\beta ^{2}\gamma ^{2}+{\frac {dw}{dz}}{\frac {\delta dv}{dy}}\beta ^{2}\gamma ^{2}\right)+\\&\left({\frac {du}{dx}}{\frac {\delta dw}{dz}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}+{\frac {du}{dz}}{\frac {\delta dw}{dx}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)+\\&\left({\frac {dv}{dy}}{\frac {\delta dw}{dz}}\beta ^{2}\gamma ^{2}+{\frac {dv}{dz}}{\frac {\delta dw}{dy}}\beta ^{2}\gamma ^{2}\right)+\\&\left({\frac {dw}{dx}}{\frac {\delta dw}{dx}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}+{\frac {dw}{dy}}{\frac {\delta dw}{dy}}\beta ^{2}\gamma ^{2}+{\frac {dw}{dz}}{\frac {\delta dw}{dz}}\gamma ^{4}\right)\end{aligned}}\right\}$

Cette addition étant faite, il ne reste plus qu’à intégrer dans la huitième partie de la sphère dont le point M est le centre, où les valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont positives. À cet effet, on changera ces coordonnées en d’autres coordonnées polaires, et désignant par $\psi$ l’angle du rayon $\rho$ avec sa projection sur le plan des $\alpha \beta$, et par $\varphi$ l’angle que forme cette projection avec l’axe des $\alpha$ on aura

${\begin{aligned}&\alpha =\rho \cos .\psi \cos .\varphi ,\\&\beta =\rho \cos .\psi \sin .\varphi ,\\&\gamma =\rho \sin .\psi \,;\end{aligned}}$

valeurs qui devront être substituées dans la formule précédente. On la multipliera ensuite par l’expression