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MÉMOIRE SUR LES LOIS

$d\rho d\psi d\varphi .\rho ^{2}\cos .\psi$ de l’élément du volume dans le nouveau système de coordonnées, et on intégrera par rapport à $\varphi$ et $\psi$ de $0$ à ${\tfrac {\pi }{2}}$ et par rapport à $\rho$ de $0$ à $\infty .$ En faisant abstraction du facteur en $\rho ,$ on aura d’abord

$\alpha ^{4}\cos .\psi =\cos .^{5}\psi \cos .^{4}\varphi ,\quad \beta ^{4}\cos .\psi =\cos .^{5}\psi \sin .^{4}\varphi ,\quad \gamma ^{4}\cos .\psi =\cos .\psi \sin .^{4}\psi ,$

${\begin{aligned}\alpha ^{2}\beta ^{2}\cos .\psi &=\cos .^{5}\psi \sin .^{2}\varphi \cos .^{2}\varphi ,\\\alpha ^{2}\gamma ^{2}\cos .\psi &=\cos .^{3}\psi \sin .^{2}\psi \cos .^{2}\varphi ,\\\beta ^{2}\gamma ^{2}\cos .\psi &=\cos .^{3}\psi \sin .^{2}\psi \sin .^{2}\varphi .\end{aligned}}$

Multipliant chacune de ces quantités par $d\psi d\varphi$ et intégrant entre les limites indiquées, on trouve pour la valeur commune des trois premières intégrales ${\tfrac {\pi }{10}}\ ;$ et pour la valeur commune des trois dernières ${\tfrac {\pi }{30}}.$ Par conséquent si nous posons

$\sigma ={\frac {8\pi }{30}}\int _{0}^{\infty }d\rho .\rho ^{4}f(\rho ),$

la somme des moments de toutes les actions exercées réciproquement entre la molécule $\mathrm {M}$ et celles qui l’avoisinent se trouvera exprimée par

$\sigma \left\{{\begin{alignedat}{4}3{\frac {du}{dx}}{\frac {\delta du}{dx}}&+{\frac {du}{dy}}{\frac {\delta du}{dy}}&&+{\frac {du}{dz}}{\frac {\delta du}{dz}}&+\;{\frac {dv}{dy}}{\frac {\delta du}{dx}}&+{\frac {dv}{dx}}{\frac {\delta du}{dy}}&&+{\frac {dw}{dz}}{\frac {\delta du}{dx}}&+\;{\frac {dw}{dz}}{\frac {\delta du}{dz}}\\{\frac {du}{dx}}{\frac {\delta dv}{dy}}&+{\frac {du}{dy}}{\frac {\delta dv}{dx}}&&+{\frac {dv}{dx}}{\frac {\delta dv}{dx}}&+3{\frac {dv}{dy}}{\frac {\delta dv}{dy}}&+{\frac {dv}{dz}}{\frac {\delta dv}{dz}}&&+{\frac {dw}{dy}}{\frac {\delta dv}{dz}}&+\;{\frac {dw}{dz}}{\frac {\delta dv}{dy}}\\{\frac {du}{dx}}{\frac {\delta dw}{dz}}&+{\frac {du}{dz}}{\frac {\delta dw}{dx}}&&+{\frac {dv}{dy}}{\frac {\delta dw}{dz}}&+\;{\frac {dv}{dz}}{\frac {\delta dw}{dy}}&+{\frac {dw}{dx}}{\frac {\delta dw}{dx}}&&+{\frac {dw}{dy}}{\frac {\delta dw}{dy}}&+3{\frac {dw}{dz}}{\frac {\delta dw}{dz}}\end{alignedat}}\right\}$

}} Il faut maintenant prendre la somme des quantités semblables à la précédente pour tous les points de la masse du