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du mouvement des fluides
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {E} u+\varepsilon \left[\cos .l.2{\frac {du}{dx}}+\cos .m\left({\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}\right)+\cos .n\left({\frac {du}{dz}}+{\frac {dw}{dx}}\right)\right]=0,\\&\mathrm {E} v+\varepsilon \left[\cos .l\left({\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}\right)+\cos .m.2{\frac {dv}{dy}}+\cos .n\left({\frac {dv}{dz}}+{\frac {dw}{dy}}\right)\right]=0,\\&\mathrm {E} w+\varepsilon \left[\cos .l\left({\frac {du}{dz}}+{\frac {dw}{dx}}\right)+\cos .m\left({\frac {dv}{dz}}+{\frac {dw}{dy}}\right)+\cos .n.2{\frac {dw}{dz}}\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cae06775ed56e0494fabfc4af9dbe9c8b5be47)
La valeur de la constante
doit varier suivant la nature des
corps avec lesquels le fluide est en contact, et (ce qui est
physiquement impossible) s’il y avait un espace vide au-dessus
de la portion libre de la surface du fluide, ces équations
devraient encore être satisfaites pour les points appartenant
à cette portion, en y supposant
.
Les équations précédentes peuvent encore être simplifiées. En effet, les molécules du fluide contiguës à la paroi
ne pouvant se mouvoir dans une direction perpendiculaire
à la surface, on a la relation
![{\displaystyle 0=u.\cos .l+v.\cos .m+w.\cos .n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7e1fb062259215dd3cf39cd38446de0fbd48c6)
en vertu de laquelle elles se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {E} u+\varepsilon \left(\cos .l.{\frac {du}{dx}}+\cos .m.{\frac {du}{dy}}+\cos .n.{\frac {du}{dz}}\right)=0,\\&\mathrm {E} v+\varepsilon \left(\cos .l.{\frac {dv}{dx}}+\cos .m.{\frac {dv}{dy}}+\cos .n.{\frac {dv}{dz}}\right)=0,\\&\mathrm {E} w+\varepsilon \left(\cos .l.{\frac {dw}{dx}}+\cos .m.{\frac {dw}{dy}}+\cos .n.{\frac {dw}{dz}}\right)=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5fc2e1ddd7182111d53bd3c355c9d13e3a9664)
Dans un point où la paroi serait perpendiculaire à l’axe
des
, on aurait simplement
![{\displaystyle \mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dz}}=0,\quad \mathrm {E} v+\varepsilon {\frac {dv}{dz}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2279c236808eb2750f8c825dfef3106a4751692a)