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$\scriptstyle {\begin{aligned}&\varepsilon \iiint dxdydz\left[{\begin{array}{l}\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)\delta u+\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right)\delta v\\+\left({\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}w}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}\right)\delta w\end{array}}\right]\\+&\varepsilon \iint dy'dz'\left[2{\frac {du'}{dx'}}\delta u'+\left({\frac {du'}{dy'}}+{\frac {dv'}{dx'}}\right)\delta v'+\left({\frac {du'}{dz'}}+{\frac {dw'}{dx'}}\right)\delta w'\right]\\+&\varepsilon \iint dx'dz'\left[\left({\frac {du'}{dy'}}+{\frac {dv'}{dx'}}\right)\delta u'+2{\frac {dv'}{dy'}}\delta v'+\left({\frac {dv'}{dz'}}+{\frac {dw'}{dy'}}\right)\delta w'\right]\\+&\varepsilon \iint dx'dy'\left[\left({\frac {du'}{dz'}}+{\frac {dw'}{dx'}}\right)\delta u'+\left({\frac {dv'}{dz'}}+{\frac {dw'}{dy'}}\right)\delta v'+2{\frac {dw'}{dz'}}\delta w'\right]\\-&\varepsilon \iint dy''dz''\left[\left(2{\frac {du''}{dx''}}\delta u''+{\textrm {etc.}}\right.\right.\end{aligned}}$

On voit donc en premier lieu que les équations indéfinies du mouvement du fluide deviendront respectivement

$\scriptstyle {\begin{aligned}&\mathrm {P} -{\frac {dp}{dx}}=\rho \left({\frac {du}{dt}}+u{\frac {du}{dx}}+v{\frac {du}{dy}}+w{\frac {du}{dz}}\right)-\varepsilon \left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right),\\&\mathrm {Q} -{\frac {dp}{dy}}=\rho \left({\frac {dv}{dt}}+u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {dv}{dy}}+w{\frac {dv}{dz}}\right)-\varepsilon \left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right),\\&\mathrm {R} -{\frac {dp}{dz}}=\rho \left({\frac {dw}{dt}}+u{\frac {dw}{dx}}+v{\frac {dw}{dy}}+w{\frac {dw}{dz}}\right)-\varepsilon \left({\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}w}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}\right).\end{aligned}}$

En second lieu, à l’égard des conditions qui se rapportent aux points de la surface du fluide, si l’on désigne, comme on l’a fait plus haut, par $l,m,n$ les angles que le plan tangent à la surface forme avec les plans des $yz$, des $xz$ et des $xy\ ;$ si on remplace $dydz$ par $ds^{2}\cos .l,$ $dxdz$ par $ds^{2}\cos .m,$ $dxdy$ par $ds^{2}\cos .n,$ et les doubles signes d’intégration relatifs à $dydz,dxdz,dydz$ par le signe $\mathrm {S}$ relatif à $ds^{2}$ : il sera nécessaire, pour que les termes affectés des quantités $\delta u,\delta v,\delta w$ soient respectivement réduits à zéro, que l’on ait, pour chacun des points de la surface du fluide, les équations déterminées