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mémoire sur les lois

${\begin{aligned}&\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dy}}=0\ {\textrm {quand}}\ y=\pm b,\\&\mathrm {E} u+\varepsilon {\frac {du}{dz}}=0\ {\textrm {quand}}\ z=\pm c.\end{aligned}}$

La valeur de la pression est indépendante de $y$, en sorte qu’elle est la même pour tous les points situés sur une même ligne horizontale perpendiculaire à l’axe du tuyau. Nommons $a$ la distance fixe ou variable de l’extrémité supérieure de la portion de fluide contenue dans le tuyau à l’origine des $x$, la longueur de la partie du tuyau occupée par le fluide, $a$ et $\alpha$ étant mesures sur l’axe. Désignons par $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {Z} '$ les hauteurs dues aux pressions qui ont lieu respectivement aux deux extrémités du fluide, pour les points situés dans l’axe, pressions que nous supposerons constantes. Il faudra que l’on ait $p=\rho g.\mathrm {Z}$ quand $x=a,z=0\ ;$ et $p=\rho g.\mathrm {Z} '$ quand $x=a+\alpha ,z=0.$ L’expression

$p=\rho g.\mathrm {Z} -\rho g\left(\mathrm {Z} -\mathrm {Z} '\right){\frac {x-a}{\alpha }}+\rho g.z\cos .\theta$

satisfait à ces conditions, aussi bien qu’à la troisième des équations indéfinies. En substituant cette expression dans la première de ces équations, et posant $\zeta =\alpha \sin .\theta +\mathrm {Z} -\mathrm {Z} ',$ il viendra

$\rho {\frac {du}{dt}}={\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}+\varepsilon \left({\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right).$

La quantité $\zeta$ représente la différence de niveau des extrémités supérieures des lignes $\mathrm {Z}$ et $Z'$ supposées portées verticalement aux deux extrémités du fluide. La question se réduit maintenant à trouver une expression de $u$ qui satisfasse en même temps à cette équation, aux deux équations déterminées écrites ci-dessus, et à l’état initial du fluide.