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DU MOUVEMENT DES FLUIDES.
on aura, au lieu de l’équation précédente,
![{\displaystyle {\frac {m-n}{\varepsilon }}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s=\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s\right)_{0}-\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s\right)_{\mathrm {R} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2bd41066dc5cac95df0dd9c94a7ac40e228c426)
Or la fonction
satisfait effectivement à l’équation que l’on vient de poser, si l’on prend
En effet, mettant cette valeur de
dans l’équation dont il s’agit, elle devient
![{\displaystyle {\frac {n}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1516f805517fc5399b06652d6e2a7dcef3e599)
c’est-à-dire l’équation même dont dépend la fonction
en changeant seulement
en
Nous désignerons par
la fonction de
qui satisfait à l’équation
![{\displaystyle {\frac {m}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2acc127357d0447494ff712fb3bc31cb608ca4)
et par
la fonction de
qui satisfait à l’équation
![{\displaystyle {\frac {n}{\varepsilon }}s+{\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70924eaf1427f4e19bfad5541b81135c79a37360)
En substituant donc
à la place de
et
à la place de
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m-n}{\varepsilon }}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s&=\left[{\begin{array}{l}r{\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}.\Psi '\left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi \left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\\-\,r{\sqrt {\frac {n}{\varepsilon }}}.\Psi \left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi '\left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\end{array}}\right]_{0}\\&-\left[{\begin{array}{l}r{\sqrt {\frac {m}{\varepsilon }}}.\Psi '\left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi \left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\\-\,r{\sqrt {\frac {n}{\varepsilon }}}.\Psi \left({\sqrt {{\frac {m}{\varepsilon }}r}}\right).\Psi '\left({\sqrt {{\frac {n}{\varepsilon }}r}}\right)\end{array}}\right]_{\mathrm {R} }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274d335b7d76ba979b141527f0959cc09fc21c04)
ou bien