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MÉMOIRE SUR LES LOIS

Pour y parvenir, on multipliera chaque membre de l’équation précédente par $dr.\sigma ,$ $\sigma$ représentant une fonction de $s,$ et l’on intégrera depuis $r=0$ jusqu’à $r=\mathrm {R} \ ;$ ce qui donnera

$\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma .\varphi (r)=$$\mathbf {S}$$\Lambda \int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s$

Mais, à cause de l’équation dont dépend la valeur de $s,$

$\int dr.\sigma s=-{\frac {\varepsilon }{m}}\int dr.\sigma \left({\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}\right)\ ;$

et comme, en intégrant par parties, on a

${\begin{aligned}&\int dr.\sigma {\frac {d^{2}s}{dr^{2}}}=\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s+\int dr{\frac {d^{2}\sigma }{dr^{2}}},\\&\int dr.\sigma {\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dr}}={\frac {\sigma }{r}}s-\int dr{\frac {\tfrac {\sigma }{r}}{dr}}s,\end{aligned}}$

il vient

${\begin{aligned}{\frac {m}{\varepsilon }}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.\sigma s=\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {d\sigma }{dr}}s\right)_{0}-\left({\frac {\sigma }{r}}s+\sigma {\frac {ds}{dr}}-{\frac {\sigma }{dr}}s\right)_{\mathrm {R} }+\\\int _{0}^{\mathrm {R} }dr\left({\frac {d{\tfrac {\sigma }{r}}}{dr}}s-{\frac {d^{2}\sigma }{dr^{2}}}s\right),\end{aligned}}$

les parenthèses affectées des signes $0$ et $R$ indiquant les valeurs que prennent les quantités comprises dans ces parenthèses, lorsqu’on fait $r=0,$ $r=\mathrm {R} .$ Supposons maintenant que la fonction $\sigma$ soit assujettie à satisfaire à l’équation

${\frac {n}{\varepsilon }}\sigma -{\frac {d{\tfrac {\sigma }{r}}}{dr}}+{\frac {d^{2}\sigma }{dr^{2}}}=0,$