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MÉMOIRE SUR LES LOIS

doivent être déterminés de manière que l’on ait

${\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}=$$\mathbf {S}$$\mathrm {Q} ms,$

nous avons $\varphi (r)={\tfrac {\rho g\zeta }{\alpha }},$ $\mathrm {A} =\mathrm {Q} m.$ La formule précédente donne donc

$\mathrm {Q} ={\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}.{\frac {2\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.rs}{m\mathrm {R} ^{2}\mathrm {S} ^{2}\left(1+{\tfrac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right)}}\ ;$

et par conséquent la portion de la valeur de $u$ qui représente les vitesses constantes que le fluide tend toujours à prendre quel qu’ait été son état initial, et qu’il a acquises sensiblement après un certain temps, est

$u={\frac {\rho g\zeta }{\alpha \mathrm {R} ^{2}}}$$\mathrm {S}$${\frac {2\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.rs}{m\mathrm {S} ^{2}\left(1+{\tfrac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right)}}.s$

ou bien

$u={\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}$$\mathbf {S}$${\frac {s}{m\left(1+{\tfrac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right)}}{\frac {\left(1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{2.2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\mathrm {R} ^{4}}{3.2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {\mathrm {R} ^{6}}{4.2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\textrm {etc.}}\right)}{\left(1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\textrm {etc.}}\right)^{2}}}.$

Pour déduire de cette expression celle de la vitesse moyenne $\mathrm {U} ,$ il faut prendre l’intégrale $\textstyle {\tfrac {1}{\pi \mathrm {R} ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\mathrm {R} }dr.ru={\frac {2}{\mathrm {R} ^{2}}}\int _{0}^{\mathrm {R} }dr.ru.$ On aura donc

$\mathrm {U} ={\frac {\rho g\zeta }{\alpha }}$$\mathbf {S}$${\frac {1}{m\left(1+{\tfrac {\mathrm {E} ^{2}}{m\varepsilon }}\right)}}\left({\frac {1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{2.2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\mathrm {R} ^{4}}{3.2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {\mathrm {R} ^{6}}{4.2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\textrm {etc.}}}{1-{\frac {m}{\varepsilon }}{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\varepsilon ^{3}}}{\frac {\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\textrm {etc.}}}}\right)^{2}.$