Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/649

Concevons un cône qui ait son sommet au point $\mathrm {M} ,$ et soit circonscrit à l’élément $d\omega$ de la surface ; puis une sphère décrite du point $\mathrm {M}$ avec un rayon égal à l’unité. Soit $d\theta ,$ l’élément intercepté par ce cône sur la surface de cette sphère ; on aura

$\cos .id\omega =\pm \rho ^{2}d\theta ,$

en prenant le signe supérieur ou l’inférieur, selon que l’angle $i$ sera aigu ou obtus. Donc, avec cette attention, l’équation précédente prendra la forme

$\iiint \mathrm {R} dx'dy'dz'=\iint (\mp )d\theta \,;$

et l’intégrale double ne se rapportera plus qu’à la surface sphérique, quelle que soit la forme du corps auquel répond l’intégrale triple.

Or, si le point $\mathrm {M}$ est en dehors du corps, et que l’on circonscrive à sa surface, un cône qui ait son sommet à ce point, elle sera partagée par la ligne de contact, en deux parties, telles que l’angle $i$ sera obtus dans toute la partie située du côté du sommet, et aigu dans toute la partie opposée appelant donc $\Theta$ la portion de la surface sphérique, interceptée par ce cône, l’intégrale double aura pour valeur $+\Theta$ dans la première partie, et $-\Theta$ dans la seconde ; par conséquent l’intégrale entière sera nulle, et l’on aura dans ce premier cas :

$\iiint \mathrm {R} dx'dy'dz'=0.$

Si le point $\mathrm {M}$ se trouve sur la surface du corps que nous considérons, le cône se changera en un plan la première partie de cette surface disparaîtra ; la quantité $\Theta$ sera la moitié de la surface sphérique, ou égale à $2\pi ,$ $\pi$ désignant à l’ordinaire le rapport de la circonférence au diamètre ;