Dans le cas de
nous aurons
![{\displaystyle \varphi '(k,k)=-{\frac {\alpha \alpha '}{k}}\varphi (k,k)+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k\alpha 'y\,dy\,dy'}{\left[\left(k^{2}+\alpha ^{2}+y^{2}+y'^{2}\right)^{2}-4\alpha ^{2}y^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd3397bb0728f01f0551e6d89fdf39e83e96a97)
Cette dernière intégrale est nulle, comme étant composée d’éléments, deux à deux, égaux et de signes contraires entre les limites
il en résultera donc
![{\displaystyle \varphi '(k,k)-\varphi '(k',k')=-\alpha \alpha '\left({\frac {\varphi (k,k)}{k}}-{\frac {\varphi (k',k')}{k'}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed2dacae204eb2b681343581099a2729b03a13b)
Lorsque les constantes
et
seront différentes, on ne pourra pas obtenir sous forme finie la valeur de l’intégrale
mais si l’on prend, comme il a été dit,
![{\displaystyle k=h-b,\qquad k'=h+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d04390ae65e8af4c26b5cc43ca26e83aa7da74a)
pour les valeurs de
et
et que l’on développe suivant les puissances de
on obtiendra une série très-convergente, dont nous ne conserverons que les deux premiers termes ; ce qui donnera :
![{\displaystyle \varphi '(k,k')=-{\frac {\alpha \alpha '(h-b)}{h^{2}}}\varphi (h,h)-12b\alpha \alpha '\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003c32b584040f0c230a2647d07d566fab9306f8)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {H} =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {h^{2}y^{2}\,dy\,dy'}{\left[\left(h^{2}+\alpha ^{2}+y^{2}+y'^{2}\right)^{2}-4\alpha ^{2}y^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbafa901d719b586ff5230ff9ff165daf3c9728)
et supprimant une intégrale dont les élements se détruisent deux à deux entre les limites
La valeur de ![{\displaystyle \varphi '(k',k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475b42923d54eb3b73924536f36849e6bd570dcf)