(40) Lorsque la direction de l’aiguille aimantée sera telle, si cela est possible, que l’action de la terre et celle de la plaque tournante se fassent équilibre, l’angle
sera constant, et en appelant
sa valeur inconnue, on aura
En mettant
et
à la place de
et
dans les valeurs de
et
elles deviendront
![{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}(n\beta -ngz+\beta '),\qquad \gamma '=(n\beta -ng'z+\beta ')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155d3b3ca0faa207e2d0d1a8387ac9cdcf2db8f4)
les différentiations par rapport à
et
s’opéreront sur
et
et après les avoir effectuées, on fera
La valeur de
s’obtiendra en égalant à zéro le second membre de l’équation (l), en sorte que l’on aura
![{\displaystyle \sin .\delta ={\frac {3\mu bp}{4ml}}{\frac {d^{3}.}{dh\,d\beta \,d\beta '}}\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{\left(h^{2}+l^{2}\sin .^{2}\gamma \right)^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {1}{\left(h^{2}+l^{2}\sin .^{2}\gamma '\right)^{\frac {1}{2}}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1db585877cfef52f2b786bc9fa3f83b4ac694788)
![{\displaystyle \left.-{\frac {1}{\left(h^{2}+l^{2}\cos .^{2}\gamma \right)^{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{\left(h^{2}+l^{2}\cos .^{2}\gamma '\right)^{\frac {1}{2}}}}\right]e^{-z}dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba707ebacdcd146c5a830d39a0c92dbca3cf91b)
Cette valeur de
ne renfermant pas le temps
il en résulte que l’équilibre de l’aiguille sera effectivement possible, toutes les fois qu’elle ne surpassera pas l’unité... L’angle sera, dans cet état, la déviation de l’aiguille à partir du méridien magnétique ; et l’on voit que son \sinus sera proportionnel à la quantité, ou à l’intensité magnétique de l’aiguille, ce qui tient à ce que cette déviation est l’effet de la réaction de la plaque aimantée par l’influence des pôles de l’aiguille. En déterminant la valeur de
au moyen de l’équation
on aura la limite de vitesse au-delà de laquelle l’action de la plaque tournante fera prendre à l’aiguille un mouvement continu.