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et successivement $n(t-gz)-\beta ,$ $n(t-g'z)-\beta ,$ pour l’angle $\omega .$

On traitera cette intégrale double comme celles que l’on a considérées dans le n^o 37. Ainsi, après avoir fait

$u'+{\frac {1}{2}}(\omega +\omega ')=u',\qquad du=du',$

on fera

$r\sin .u'=y,\qquad r\cos .u'=y',\qquad r\,dr\,du'=dy\,dy'\,;$

il en résultera

$\varphi _{1}(k,k')=$

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k\left[\alpha -y\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')-y'\cos .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right]dy\,dy'}{\left[{\begin{aligned}\left(k^{2}+\alpha ^{2}+y^{2}+y'^{2}+2y\alpha \sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')-2y'\alpha \cos .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right)\\\times \left(k'^{2}+\alpha ^{2}+y^{2}+y'^{2}-2y\alpha \sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')-2y'\alpha \cos .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right)\end{aligned}}\right]^{\frac {3}{2}}}}$

Mettons $y'+\alpha \cos .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')$ au lieu de $y'\,;$ en supprimant la partie de cette intégrale dont les éléments se détruisent deux à deux entre les limites $\pm \infty$ de la nouvelle variable $y',$ et faisant, pour abréger,

$\left[{\begin{aligned}\left(k^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')+y^{2}+y'^{2}+2y\alpha \sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right)\\\times \left(k'^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')+y^{2}+y'^{2}-2y\alpha \sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right)\end{aligned}}\right]^{\frac {3}{2}}=\mathrm {D} ,$

nous aurons

$\varphi _{1}(k,k')=-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }k\left(y-\alpha \sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right)\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega '){\frac {dy\,dy'}{\mathrm {D} }}.$

Si l’on supprime de même la partie de cette intégrale, qui renferme la première puissance de $y$ à son numérateur, et qui se détruit dans le cas de $k'=k,$ on aura simplement :