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Nous supposerons les valeurs de la variable qui répondent aux deux limites de l’intégrale, égales et de signes contraires, ce qu’on peut toujours obtenir en augmentant ou diminuant la variable d’une quantité constante. Nous désignerons ces limites par $\pm a\,;$ et pour les indiquer en même temps que l’intégrale, nous emploierons la notation très-commode que M. Fourrier a proposée. Ainsi

$\int _{-a}^{a}fx\,dx,$

désignera l’intégrale de $fx\,dx,$ prise depuis $x=-a$ jusqu’à $x=+a\,;$ $fx$ étant une fonction donnée qui ne devient pas infinie entre ces limites.

Partageons $a$ en un nombre $n$ de parties égales ; soit $\omega$ la grandeur de chacune d’elles, en sorte qu’on ait $a=n\omega \,;$ faisons, pour abréger,

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}f(-n\omega )&+f(-n\omega +\omega )+f(-n\omega +2\omega )+\ldots \\&+f(n\omega -2\omega )+f(n\omega -\omega )+f(n\omega )=\mathrm {P} _{n}\,:\end{aligned}}$

en remplaçant $dx$ par $\omega ,$ on pourra prendre, d’après le principe précédent, $\omega \mathrm {P} _{n}$ pour la valeur approchée de notre intégrale ; et si l’on désigne par $\mathrm {Q} _{n}$ la correction dont elle est susceptible, on aura exactement

$\int _{-a}^{a}fx\,dx=\omega \mathrm {P} _{n}+\mathrm {Q} _{n}.$

(1)

Au lieu de ne faire entrer dans $\mathrm {P} _{n},$ qu’une seule des deux valeurs extrêmes de $fx,$ on a pris, pour la symétrie du calcul, la moitié de chacune d’elles ; ce qui est permis tant que