l’on a fait, pour abréger,
| (4) |
![{\displaystyle \mathrm {R} _{m}=-2(-1)^{m}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)^{2m}\int _{-a}^{a}\left[\sum _{0}^{\infty }{\frac {1}{i^{2m}}}\cos .{\frac {2i\pi x}{\omega }}\right]{\frac {d^{2m}fx}{dx^{2m}}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17ac1f8d38a007bb0c37182d058d95043115fb6)
Maintenant, si l’on prolonge indéfiniment cette série, et qu’on néglige le reste l’équation (1) deviendra
| (5) |
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\int _{-a}^{a}fx\,dx=\omega \mathrm {P} _{n}&-\omega ^{2}\left(\left[{\frac {dfx}{dx}}\right]-\left({\frac {dfx}{dx}}\right)\right)\mathrm {A} _{1}\\&+\omega ^{4}\left(\left[{\frac {d^{3}fx}{dx^{3}}}\right]-\left({\frac {d^{3}fx}{dx^{3}}}\right)\right)\mathrm {A} _{2}\\&-\omega ^{6}\left(\left[{\frac {d^{5}fx}{dx^{5}}}\right]-\left({\frac {d^{5}fx}{dx^{5}}}\right)\right)\mathrm {A} _{3}\\&+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d529565cce46873b05f059c31fb2eccff797ad3)
Cette formule ne diffère pas essentiellement, de celle qu’Euler a donnée pour le même objet dans son Traité de calcul différentiel, et qu’on peut regarder comme une des plus utiles dont il a enrichi l’analyse ; mais la manière dont nous y sommes parvenus a l’avantage de faire connaître en même temps-l’expression du reste que l’on néglige quand on s’arrête à un terme quelconque de la série infinie ; expression dont il sera toujours facile d’assigner une limite supérieure à sa valeur exacte ; ce qui permettra d’apprécier le degré de l’approximation. Il serait à désirer que l’on eût de semblables limites pour toutes les suites infinies dont on fait usage : Lagrange les a exprimées très-simplement dans le cas du théorème de Taylor ; et récemment M. Laplace s’est occupé de questions analogues, relatives aux développements des coordonnées des planètes dans le mouvement elliptique, et d’une autre fonction qui se présente dans la théorie des perturbations.
