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(5) Les valeurs des coefficients $\mathrm {A_{1},A_{2},A_{3}} ,$ etc., sont connues, comme nous l’avons dit ; mais on peut aussi les déterminer au moyen de l’équation (5), en faisant une supposition sur le nombre $n$ et sur la fonction $fx.$ Le plus simple est de prendre $n=1.$ On a alors

$\omega =a,\qquad \mathrm {P} _{n}={\frac {1}{2}}f(-a)+f0+{\frac {1}{2}}fa.$

Si l’on désigne par $e$ la base des logarithmes népériens, et qu’on fasse

$fx=e^{x},$

on aura

$\int _{-a}^{a}fx\,dx=e^{a}-e^{-a},\qquad \mathrm {P} _{n}={\frac {1}{2}}\left(e^{{\frac {1}{2}}a}+e^{-{\frac {1}{2}}a}\right)^{2},$

et généralement

$\left[{\frac {d^{2m-1}fx}{dx^{2m-1}}}\right]-\left({\frac {d^{2m-1}fx}{dx^{2m-1}}}\right)=e^{a}-e^{-a}\,;$

au moyen de quoi, en divisant les deux membres de l’équation (5) par $e^{a}-e^{-a},$ on en conclura

${\frac {a\left(e^{{\frac {1}{2}}a}+e^{-{\frac {1}{2}}a}\right)}{2\left(e^{{\frac {1}{2}}a}-e^{-{\frac {1}{2}}a}\right)}}=1+a^{2}\mathrm {A} _{1}-a^{4}\mathrm {A} _{2}+a^{6}\mathrm {A} _{3}-{\text{etc}}.$

Or, le premier membre ne changeant pas quand on y change le signe de $a,$ son développement ne renfermera que des puissances paires de $a\,;$ d’ailleurs, les inconnues $\mathrm {A_{1},A_{2},A_{3}} ,$ etc., sont indépendantes de $a\,;$ il en résulte donc qu’après avoir développé le premier membre, les coefficients de