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vient

$\delta \mathrm {I} <{\frac {0{,}01987}{n^{6}}}.$

Soit ensuite $n=4\,;$ la valeur approchée de $\mathrm {I}$ sera

$\mathrm {I} =0{,}9927799272\,;$

à quoi il faudra joindre

$\delta \mathrm {I} <0{,}0000048311\,;$

de sorte que l’erreur sera moindre qu’une demi-unité décimale du $6$^e ordre. Elle est, en effet, plus petite ; car en calculant, par les méthodes particulières aux transcendantes elliptiques, une valeur de $\mathrm {I}$ exacte jusqu’aux décimales, du $14$^e ordre inclusivement, M. Legendre a trouvé qu’elle ne différait de la précédente que d’une demi-unité du $10$^e ordre.

Il est à remarquer que dans ce même exemple, la série des différences, contenue dans la formule (9), n’est pas convergente ; et qu’en y ayant égard, on s’écarte plus de la valeur exacte de $\mathrm {E} ,$ qu’en s’en tenant à la seule partie $\omega \mathrm {P} _{n}$ de cette formule.

(10) Si l’on supprime en entier dans l’équation (6), la série des différentielles de $fx,$ il faudra ajouter à son second membre la valeur de $\mathrm {R} _{m}$ qui répond à $m=0.$ Je fais passer cette quantité dans le premier membre, et je suppose qu’on ait $c=\infty ,$ ce qui change $\omega \mathrm {P} _{n}$ en une série infinie ; il en résulte cette transformation d’une série dans une autre :

$\int _{0}^{\infty }fx\,dx+2\sum _{1}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }\cos .{\frac {2i\pi x}{\omega }}fx\,dx\right)={\frac {1}{2}}f0+\sum _{1}^{\infty }fi\omega ,$

(10)