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en déduisant l’expression de $\mathrm {R} _{0},$ de la formule (7). Mais pour que cette nouvelle formule soit utile, il faudra l’appliquer à des cas dans lesquels les intégrations relatives à $x$ puissent s’effectuer sous forme finie.

Si nous prenons, par exemple,

$fx=e^{-x^{2}}\cos .2ax,$

$e$ désignant la base des logarithmes népériens, et $a$ une constante donnée, nous aurons

$2\int _{0}^{\infty }\cos .{\frac {2i\pi x}{\omega }}fx\,dx={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left[e^{-\left(a+{\frac {i\pi }{\omega }}\right)^{2}}+e^{-\left(a-{\frac {i\pi }{\omega }}\right)^{2}}\right]\,;$

d’où nous conclurons

${\sqrt {\pi }}\sum e^{-\left(a+{\frac {i\pi }{\omega }}\right)^{2}}=\omega \sum e^{-i^{2}\omega ^{2}}\cos .2ia\omega \,;$

les sommes $\sum$ s’étendant actuellement à toutes les valeurs de $i,$ entières, positives, négatives ou zéro, depuis $i=-\infty$ jusqu’à $i=\infty .$ Cette équation est identique dans le cas de $a=0$ et $\omega ={\sqrt {\pi }}.$ En faisant $\omega ={\sqrt {\pi }},$ $a={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}},$ et, pour abréger, $e^{-\pi }=\varepsilon ,$ on en déduit

$\sum \varepsilon ^{\left({\frac {1}{2}}+i\right)^{2}}=\sum (-1)^{i}\varepsilon ^{i^{2}},$

ou, ce qui est la même chose,

${\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\frac {1}{4}}+\varepsilon ^{\frac {9}{4}}+\varepsilon ^{\frac {25}{4}}+\varepsilon ^{\frac {49}{4}}+{\text{etc}}.={\frac {1}{2}}-\varepsilon +\varepsilon ^{4}-\varepsilon ^{9}+etc.\,;$

équation entre les deux transcendantes $e$ et $\pi ,$ qui mérite