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$\operatorname {F} 'y$ étant aussi une fonction qui ne deviendra pas infinie, ce qui permettra d’appliquer la formule (6) à l’intégrale relative à la nouvelle variable $y.$

Généralement, une integrale $\int _{0}^{c}fx\,dx$ cesse de représenter la somme des valeurs réelles de la différentielle, comprises depuis $x=0$ jusqu’à $x=c,$ lorsque $fx$ devient infinie dans cet intervalle. Ainsi, l’on a, par exemple,

$\int _{0}^{c}{\frac {dx}{x-a}}=\log .{\frac {a-c}{a}},\qquad \int _{0}^{c}{\frac {dx}{(x-a)^{2}}}={\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a-c}}\,;$

et si l’on suppose $a>0$ et $<c,$ la première valeur est imaginaire, et la seconde négative, tandis que la première différentielle est toujours réelle, et la seconde toujours positive. Mais dans ces sortes de cas, si l’on fait passer la variable, entre les limites données, par des valeurs imaginaires qui ne rendent plus $fx$ infinie, on pourra considérer de nouveau l’intégrale $\int _{0}^{c}fx\,dx,$ comme la somme des valeurs imaginaires de $fx\,dx.$ Dans les exemples précédents, il faudra faire

$x={\frac {1}{2}}c\left(1-\cos .z+\sin .z{\sqrt {-1}}\right),\qquad dx={\frac {1}{2}}c\left(\sin .z+\cos .z{\sqrt {-1}}\right),$

et intégrer depuis $z=0$ jusqu’à $z=(2n+1)\pi ,$ $n$ étant un nombre entier quelconque, afin de ne pas changer les limites données $x=0$ et $x=c.$ Les intégrales définies ne changeront pas non plus ; mais les fonctions de $z,$ comprises sous les signes $\int ,$ ne devenant pas infinies, chaque intégrale sera