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et intégrons depuis $a=-\infty$ jusqu’à $a=\infty .$ Nous aurons $\pi e^{-g}$ pour la valeur commune aux deux intégrales, laquelle se réduira à $\pi ,$ à la limite où la quantité $g$ est infiniment petite. On peut vérifier que est, en effet, la véritable valeur de chaque intégrale double, en effectuant les intégrations dans un ordre inverse, c’est-à-dire, en commençant par $a$ et finissant par $x,$ ce qui n’est sujet à aucune difficulté ; ou bien encore, en intégrant d’abord par rapport à $x,$ entre des valeurs indéterminées de cette variable, qu’on ne fera infinies qu’après l’intégration relative à $a.$

2^o. On ne doit pas faire usage de la formule (6), quand la fonction $fx$ passe une ou plusieurs fois par l’infini, entre les limites de l’intégration. Le principe qui en est la base, et l’équation (2) dont nous l’avons déduite, supposent essentiellement que $fx$ est toujours une quantité finie. Si cependant cette fonction devenait infinie à raison d’un diviseur dont l’exposant serait moindre que l’unité, il serait facile de le faire disparaître par un changement de variable. Supposons, par exemple,

$fx={\frac {\operatorname {F} x}{(x-a)^{k}}}\,;$

$a$ étant une constante comprise entre les limites de l’intégration, $k$ un exposant $>0$ et $<1,$ et $\operatorname {F} x$ une fonction qui ne devient pas infinie : on fera alors

$(x-a)^{1-k}=y,\qquad (1-k)(x-a)^{-k}dx=dy\,;$

d’où l’on conclura

$fx\,dx=={\frac {\operatorname {F} 'y}{1-k}}dy\,;$