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${\int }_0^{\pi }\frac{\sin .xdx}{\sqrt{1-2a\cos .x+a^2}},$

dans laquelle $a$ est une constante positive ; et convenons de regarder le radical contenu sous le signe $\int ,$ comme une quantité positive dans toute l’étendue de l’intégration. Il faudra prendre pour sa valeur, $1+a$ à la limite $x=\pi ,$ et $1-a$ ou $a-1$ à la limite $x=0,$ selon qu’on aura $a<1$ ou $a>1.$ D’après cela, on trouve ces deux expressions différentes :

${\int }_0^{\pi }\frac{\sin .xdx}{\sqrt{1-2a\cos .x+a^2}}=2,\text{ou}=\frac{2}{a};$

la première ayant lieu dans le cas de $a<1,$ et la seconde dans le cas de $a>1;$ et si l’on différentie cette intégrale par rapport à $a,$ on aura, dans les mêmes cas, cet autre exemple :

${\int }_0^{\pi }\frac{(a-\cos .x)\sin .xdx}{\sqrt{1-2a\cos .x+a^2}}=0,\text{ou}=\frac{2}{a^2}.$

Il est à remarquer que si l’on fait $a=1,$ les deux valeurs de la première intégrale sont égales, mais non pas celles de la seconde. Dans ce cas particulier, la dernière intégrale a pour valeurs zéro ou $2,$ selon qu’auparavant on regardait $a$ comme plus petit, ou comme plus grand que l’unité. Ce paradoxe tient à ce que les deux valeurs que l’on détermine de cette manière, sont celles qui répondent à la différence $1-a$ infiniment petite, positive ou négative, et qu’à cette limite, un changement infiniment petit dans la valeur de $1-a,$ suffit pour produire un changement brusque dans