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La série précédente peut être fort utilement employée dans plusieurs circonstances. Mais il importe de montrer sa convergence. Or, pour y parvenir, il suffit de rappeler qu’on a généralement, lorsque la fonction $\varphi \left(\mu +\nu {\sqrt {-1}}\right)$ s’évanouit pour $v=\infty ,$

(3)

${\begin{aligned}&\int _{0}^{a}\varphi (\mu )d\mu =\\&{\frac {1}{\sqrt {-1}}}\int _{0}^{\infty }\left[\varphi \left(a+\nu {\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(\nu {\sqrt {-1}}\right)\right]d\nu +2\pi {\sqrt {-1}}\,\sideset {_{0}^{a}}{_{0}^{\infty }}{\mathcal {\,E\,}}((\varphi (z))),\end{aligned}}$

et, lorsque la fonction $\varphi \left(\mu +\nu {\sqrt {-1}}\right)$ s’évanouit pour $v=-\infty$

(4)

${\begin{aligned}&\int _{0}^{a}\varphi (\mu )d\mu =\\&{\frac {-1}{\sqrt {-1}}}\int _{0}^{\infty }\left[\varphi \left(a-\nu {\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(-\nu {\sqrt {-1}}\right)\right]d\nu -2\pi {\sqrt {-1}}\,\sideset {_{0}^{a}}{_{-\infty }^{0}}{\mathcal {\,E\,}}((\varphi (z))).\end{aligned}}$

Si, dans la première de ces équations, on pose

$\varphi (\mu )=e^{b\mu {\sqrt {-1}}}\operatorname {f} (\mu ),$

$b$ étant une quantité positive, et $\operatorname {f} (\mu )$ une fonction qui reste finie pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de $\mu ,$ on aura

(5)

${\begin{aligned}\int _{0}^{a}e^{b\mu {\sqrt {-1}}}&\operatorname {f} (\mu )d\mu =\\&{\frac {1}{\sqrt {-1}}}\int _{0}^{\infty }\left(e^{ab{\sqrt {-1}}}\operatorname {f} \left(a+\nu {\sqrt {-1}}\right)-\operatorname {f} \left(\nu {\sqrt {-1}}\right)\right)e^{-b\nu }d\nu .\end{aligned}}$

on aura

(6)

${\begin{aligned}\int _{0}^{a}e^{-b\mu {\sqrt {-1}}}&\operatorname {f} (\mu )d\mu =\\-&{\frac {1}{\sqrt {-1}}}\int _{0}^{\infty }\left(e^{-ab{\sqrt {-1}}}\operatorname {f} \left(a-\nu {\sqrt {-1}}\right)-\operatorname {f} \left(-\nu {\sqrt {-1}}\right)\right)e^{-b\nu }d\nu .\end{aligned}}$